ペル方程式: x^2-Dy^2=±1の一般解は

xn=(α^n+β^n)/2, yn=(α^n-β^n)/(2√D)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

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ペル方程式: ln^2-(x^2+4)fn^2=4(-1)^nの一般解は

(ln,fn)で与えられる。

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x=2としてみる

u0=1,u1=4,u2=15,u3=56,u4=209,u5=908

t0=1,t1=7,t2=3,t3=26,t4=97,t5=362

2^2-3・1^2=1

7^2-3・4^2=1

26^2-3・15^2=1

97^2-3・56^2=1

362^2-3・209^2=1(OK)

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x=3としてみる

u0=1,u1=6,u2=35,u3=204,u4=1189,u5=7362

t0=1,t1=3,t2=17,t3=99,t4=577,t5=3363

3^2-8・1^2=1

17^2-8・6^2=1

99^2-8・35^2=1

577^2-8・204^2=1

3363^2-8・1189^2=1(OK)

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ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

Tn=cosnθ、Un-1=sinnθ/sinθ,x=cosθ

(cosnθ)^2-{(cosθ)^2-1}(sinnθ/sinθ)^2=(cosnθ)^2+(sinθ)^2=1

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しかし,これでは|x|＜1となってしまうので、恒等式になっていることを示した方がよい。

n=1のとき

x^2-(x^2-1)1=1

n=2のとき

(2x^2-1)^2-(x^2-1)(2x)^2=4x^4-4x^2+1-4x^4+4x^2=1

n=3のとき

(4x^3-3x)^2-(x^2-1)(4x^2-1)^2=16x^6-24x^4+9x^2-(x^2-1)(16x^4-8x^2+1)

=16x^6-24x^4+9x^2-16x^6+8x^4-x^2+16x^4-8x^2+1=1

恒等式が得られる。

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