ペル方程式: x^2-Dy^2=±1の一般解は

xn=(α^n+β^n)/2, yn=(α^n-β^n)/(2√D)で与えられる。

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ペル方程式: Tn^2-(x^2-1)Un-1^2=1の一般解は

(Tn,Un-1)で与えられる。

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ペル方程式: ln^2-(x^2+4)fn^2=4(-1)^nの一般解は

(ln,fn)で与えられる。

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x=1としてみる

f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,f4=3,f5=5,f6=8

l1=1,l2=3,l3=4,l4=7,l5=11,l6=18

1^2-5・1^2=-4

3^2-5・1^2=4

4^2-5・2^2=-4

7^2-5・3^2=4

11^2-5・5^2=-4

18^2-5・8^2=4(OK)

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x=2としてみる

f1=1,f2=2,f3=5,f4=12,f5=29,f6=70

l1=2,l2=6,l3=14,l4=34,l5=82,l6=198

2^2-8・1^2=-4

6^2-8・2^2=4

14^2-8・5^2=-4

34^2-8・12^2=4

82^2-8・29^2=-4

198^2-8・70^2=4(OK)

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ペル方程式: ln^2-(x^2+4)fn^2=4(-1)^nの一般解は

(ln,fn)で与えられるは、

Ln^2-5Fn=4(-1)^nに帰着されると思われる。

n=1のとき

x^2-(x^2+4)1=-4

n=2のとき

(x^2+2)^2-(x^2+4)x^2=4

n=3のとき

(x^3+3x)^2-(x^2+4)(x^2+1)^2=x^6+6x^4+9x^2-(x^2+4)(x^4+2x^2+1)

=x^6+6x^4+9x^2-x^6-2x^4-x^2-4x^4-8x^2-4=-4

Ln^2-5Fn=4(-1)^nに帰着されなかったが、恒等式が得られる。

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