数列

　　１，１，１，２，２，３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・

は直前の１項を除いたその前の２項を加えたものです．漸化式は

　　Ｐn＝Ｐn-2＋Ｐn-3　　　（Ｐ0＝Ｐ1＝Ｐ2＝１）

で表されます．この各項が２つ前と３つ前の項の和で与えられる数列は，イタリアの建築家パドヴァンにちなんでパドヴァン数列と呼ばれています．

　パドヴァン数列の特性方程式

　　ｘ^3−ｘ−１＝０

の唯一の実数解より，パドヴァン数列の連続する２項の比はプラスチック比

　　ｐ＝１／３｛3√（２７／２−３√６９／２）＋3√（１／２＋√６９／１８）｝＝１．３２４７１８・・・

に次第に近づくことになります．ｐがφよりも小さいことより，パドヴァン数列はフィボナッチ数列に較べてゆっくりと増加することになります．

　　ｐ^5−ｐ^3−ｐ^2＝０

　　ｐ^4−ｐ^2−ｐ^1＝０

より

　　ｐ^5−ｐ^4−ｐ^3−ｐ^1＝ｐ^5−ｐ^4−１

ですから，３次方程式ｐ^3−ｐ−１＝０の解はこの５次方程式も満たすことがわかります．あるいは，因数分解

　　ｐ^5−ｐ^4−１＝（ｐ^3−ｐ−１）（ｐ^2−ｐ＋１）

でもよいのですが，このことから

　　Ｐn＝Ｐn-1＋Ｐn-5

の関係が成り立つこともわかります．

　　ｘ^3−ｘ−１＝０とｘ^5−ｘ^4−１＝０が同じ解を持つことはすぐにわかります。それでは・・・

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一見異なる形をしている2つの数

α＝√5＋(22+2√5)^1/2

β＝(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

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２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√5＋(22+2√5)^1/2

x^2=5+22+2√5+2√5(22+2√5)^1/2

(x^2-27)/2=√5+√5(22+2√5)^1/2

{(x^2-27)/2}^2=5+5(22+2√5)+10(22+2√5)^1/2

{(x^2-27)/2}^2=115+10x

x^4-54x^2-40x+269=0

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x=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2=(11+2√29)+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2-27=2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

(x^2-27)/2=(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(11+2√29){16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(60+10√29)+2(11+2√29)(55-10√29)^1/2+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=115+10(11+2√29)^1/2+10{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=115+10x

x^4-54x^2-40x+269=0

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これで、それぞれの数を根とする多項式を見つけることができて、この等式を示すことができた。

f(x)=x^4-x^3-3x^2+x+1＝0

の最も大きな実根をxとするとき、α＝β=4x-1

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もっと一般に

α＝(a^2-b)a-2(a^4-b)√b＋(2a+2√(a^2-b))^1/2

β＝(a+2√b)^1/2+{a^2-4b+a-2√b+2((a^2-4b)a-2(a^2-4b)√b)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

a=11,b=29

α＝√5＋(22+2√5)^1/2

β＝(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

a=5,b=3

α＝√13＋(10+2√13)^1/2

β＝(5+2√3)^1/2+{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

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