フェルマーは{1,3,8,120}の中の２数の積に１を足すと平方数になることに気づいた。

1・3+1＝2^2

1・8+1＝3^2

1・120+1＝11^2

3・8+1＝5^2

3・120+1＝19^2

8・120+1＝31^2

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興味深いことに、1=F2,3=F4,8=F6,

120=4F3F4F5になっている。これを一般化すると

{F2n,F2n+2,F2n+4,4F2n+1F2n+2F2n+3}中の２数の積に１を足すと平方数になる.

n=1のとき、{1,3,8,120}

n=2のとき、{3,8,21,2080}3=F4,8=F6,21=F8

n=3のとき、{8,21,55,37128}8=F6,21=F8,55=F10

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F2n=(α^2n-β^2n)/(α-β)

F2n+2=(α^2n+2-β^2n+2)/(α-β)

F2n+4=(α^2n+4-β^2n+4)/(α-β)

4F2n+1F2n+2F2n+3=4(α^2n+1-β^2n+1)/(α-β)(α^2n+2-β^2n+2)/(α-β)(α^2n+3-β^2n+3)/(α-β)

Fn-1Fn+1-(Fn)^2=(-1)^(n)

Fn-k1Fn+k-(Fn)^2=(-1)^(n+k+1)Fk^2

F2nF2n+2-(F2n+1)^2=(-1)^(2n+1)=-1

F2n+2F2n+4-(F2n+3)^2=-1

F2nF2n+4-(F2n+2)^2=-1

F2n+1F2n+3-(F2n+2)^2=1

G=4F2n+1F2n+2F2n+3=4F2n+2{(F2n+2)^2+1}

F2n+2G+1=4(F2n+2)^2{(F2n+2)^2+1}+1={2(F2n+2)^2+1}^2

F2nG+1=4F2n(F2n+2){(F2n+2)^2+1}+1=4{(F2n+1)^2-1}{(F2n+2)^2+1}+1

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2+4(F2n+1)^2-4(F2n+2)^2-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2+4(F2n+1)(F2n+2)+1={2(F2n+1)(F2n+2)+1}^2

F2n+4G+1=4(F2n+4)(F2n+2){(F2n+2)^2+1}+1=4{(F2n+3)^2-1}{(F2n+2)^2+1}+1

=4(F2n+2)^2(F2n+3)^2+4(F2n+3)^2-4(F2n+2)^2-3

=4(F2n+2)^2(F2n+3)^2+4(F2n+2)(F2n+3)+1={2(F2n+2)(F2n+3)+1}^2

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