ここでは，√５に収束する数列を考えることにします．

2^2-5・1^2=-1

9^2-5・4^2=+1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　まず

　　（２＋√５）^n＝ａn＋ｂn√５

　　（２−√５）^n＝ａn−ｂn√５

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−５n^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√５

ですから，√５に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√５＝（２＋√５）（ａn＋ｂn√５）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋５ｂn）＋（ａn＋２ｂn）√５

より

　　ａn+1＝２ａn＋５ｂn，ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝２ａn＋５ｂn＝２ａn＋５（ａn-1＋２ｂn-1）

　＝２ａn＋ａn-1＋２（２ａn-1＋５ｂn-1）＝４ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn＝（２ａn-1＋５ｂn-1）＋２ｂn

　＝２（ａn-1＋２ｂn-1）＋２ｂn＋ｂn-1＝４ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝４ａn＋ａn-1，ｂn+1＝４ｂn＋ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ−１＝０の根{2+/-√5}として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝(2+√5)，β＝(2-√5)，初期値をａ1＝２，ａ2＝9とすると

　　ａn＝１／2√5｛{(2+√5}^(n-1)(5+2√5)-{(2-√5)}^(n-1)(5-2√5)｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝４とすると

　　ｂn＝１／2√5{(2+√5)}^(n-1)(2+√5)-{(2-√5}^(n-1)(2-√5)｝

　ここで，ｎ→∞のとき（2−√5）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√5

となるのを確かめることができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａn＝１／2｛{(2+√5}^(n-1)(√5+2)-{(2-√5)}^(n-1)(√5-2)｝

　　ａn＝１／2｛{(2+√5}^(n)+{(2-√5)}^(n)｝

　　ｂn＝１／2√5{(2+√5)}^(n)-{(2-√5}^(n)｝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝