カーマイケル数の最初の７個は

　　５９１，１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１

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　ラマヌジャンの数１７２９＝７・１３・１９は面白いが意外と厄介な数のようです．数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

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１７２９は３番目のカーマイケル数であるであるが、２番目のカーマイケル数1105については

　　１１０５＝５・１３・１７

は４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積です．

このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになるのです．（それ以下のどの数よりも多い）

　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

　１７^2＝１^2＋４^2

　１１０５＝（８^2＋１^2）（１^2＋４^2）＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　１１０５＝（４^2＋７^2）（１^2＋４^2）＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

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