グラハムは77より大きい整数をいくつかの整数の和に書いて、しかもそれらの逆数の和が1となるようにできることを示した。

例えば、78なら

78=2+6+8+10+12+40

1/2+1/6+14+1/10+1/12+1/40=1

77はこの性質を持たないことをレーマーは示した。

グラハムはｎが十分大きいとき、Σxi^2=n,Σ1/xi=1と分解できることを予想した

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１を異なる単位分数に分解することができる。完全数では

1=1/2+1/3+1/6

1=1/2+1/4+1/7+1/14+1/28

などとなる。

単位分数の分母が大きいほど項数を増やせる。 そこで、u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。

u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・＝1

おそらくこれが最大項を与えるのではないだろうか？

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uk=1+u0u1・・・uk-1

uk=uk-1(uk-1-1)+1

uk-1=1+u0u1・・・uk-2

uk-1-1=u0u1・・・uk-2

uk-1(uk-1-1)+1=u0u1・・・uk-1+1=uk

uk-1=uk-1(uk-1-1)

1/(uk-1)=1/(uk-1-1)-1/uk-1

Σ1/(uk-1)=Σ{1/(uk-1-1)-1/uk-1} (k=2-5)

1/2+1/6+1/42+1/1806=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/6-1/7)+(1/42-1/43)

1/1806=(1/1-1/2)+(-1/3)+(-1/7)+(-1/43)

1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806

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