コラッツ予想は

　　２^n＝３ｍ＋１

を問うものであったが，ここでは

　　２^n＝３^m−１

考える．

　カタラン予想と関係したこの方程式には

　　（ｎ，ｍ）＝（１，１），（３，２）

以外の整数解をもたないことが知られている．

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　　３^n＝２^m−１

では，（ｎ，ｍ）＝（１，２）は唯一の解である．

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m,n≧2かつ3^m-2^n=+/-1

[1]3^m-2^n=-1ならば2^n=1(mod3)→nは偶数

3^m=2^2k-1=(2^k+1)(2^k-1)

2^k-1=3^m',2^k+1=3^(m-m')

差をとれば2=3^m'(3^(m-m')-1),m'=0,k=1,n=2,m=1→仮定に反する

[2]3^m-2^n=1

n=2の場合は不可能であるからn≧3と仮定する→3^m=1(mod8)→mは偶数

2^n=3^2k-1=(2^k+1)(2^k-1)

3^k-1=2^n',3^k+1=2^(n-n')

差をとれば2=2^n'(2^(n-n')-1),n'=1,n=2n'+1=3, m=2

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