Σ(1,∞)１／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎｈ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2＋ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎｈ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)１／（ａ^2−ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2−ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)１／（１＋ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎｈ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎｈ（ｘ／ａ））−１／２

　　Σ(1,∞)１／（１−ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎ（ｘ／ａ））−１／２

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Σ1/(n^2-n+1)=Σ1/{(n-1/2)^2+3/4}=Σ4/{(2n-1)^2+3}であるから

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3）＝π／（２√3ｔａｎｈ（√3π））−１／（6）

の奇数項のみを加算したものの4倍に等しい。

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3）の偶数項のみ加算すると

Σ1/{(2n)^2+3}=1/4Σ1/{(n)^2+3/4}であるから

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3/4）＝π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π））−１／（3/2）

の1/4になる。

したがって、求める値は

4｛π／（２√3ｔａｎｈ（√3π））−１／（6）-1/4｛π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π））−１／（3/2）｝｝

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｛2π／√3ｔａｎｈ（√3π））−2/3-｛π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π））+2/3｝｝

｛2π／√3ｔａｎｈ（√3π））-π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π）｝

｛2π／√3・（1+tanh^2(√3/2π))/2ｔａｎｈ（√3/2π））-π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π）｝

｛π／√3・（1+tanh^2(√3/2π))/ｔａｎｈ（√3/2π））-π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π）｝

｛π／√3・（tanh^2(√3/2π))/ｔａｎｈ（√3/2π）

｛π／√3・（tanh(√3π/2))

｛π／√3・{exp(√3π)-1}/{exp(√3π)+1}・・・1にならない

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数値計算では1.79815となった

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もともとの問題は

u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。

u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・＝1

という問題だったのであるが、間違って伝わって

Σ1/(n^2-n+1)にすり替わってしまっていたようだ…

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u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。

u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・

エジプト分数表示

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・＝1

をもつ

uk=1+u0u1・・・uk-1

uk=uk-1(uk-1-1)+1

uk-1=1+u0u1・・・uk-2

uk-1-1=u0u1・・・uk-2

uk-1(uk-1-1)+1=u0u1・・・uk-1+1=uk

uk-1=uk-1(uk-1-1)

1/(uk-1)=1/(uk-1-1)-1/uk-1

Σ1/(uk-1)=Σ{1/(uk-1-1)-1/uk-1} (k=2-5)

1/2+1/6+1/42+1/1806=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/6-1/7)+(1/42-1/43)

1/1806=(1/1-1/2)+(-1/3)+(-1/7)+(-1/43)

1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806

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an=n!(n+2)も同様に変形できないだろうか？

an+1=(n+1)!(n+3)=n!(n+1)(n+3)=n!(n+2-1)(n+2+1)=n!(n+2)^2-n!

=an(n+2)-an/(n+2)・・・NG

an=(n+1)!+n!

1/an=1/{(n+1)!+n!}・・・NG

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