αを無理数とする。任意のεに対して

|α-a/b|＜1/b^(ν+ε)

を満たすa/bが高々有限個しかないとき、νをαの無理性測度という。ν(e)=ν(e^2)=ν(e^r)=2

1979年、アペリは次のような上界を与えた。

ν(ζ(2))＜11.85、ν(ζ(3))＜13.42

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[1]すべての有理数a/bに対して下界

|log2-a/b|＞1/10^10・b^5.8

[2]すべての有理数a/bに対して下界

|2^1/3-a/b|＞c/b^296

[3]すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^42

[4]十分大きな分母を持つすべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^42

[5]すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^20.6

[6]b＞a＞96のとき、すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^20.6→ν(π)≦20 ν(π^2)≦17.8

[7]十分大きな分母を持つすべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^8.0161に改良された

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