【５】ｎ次の無理数

　αが２次の無理数でないとき，λ≧３となる．３≦λ＜θは，いま盛んに研究されている領域で，いくつかの成果を掲げると

［１］θ＝（２５３５８９８２０＋２８３７４８√４６２）／４９１９９３５６９＝4.5278・・・（フライマン定数）

［２］λ＝３のとき，可算無限個のαがある．

［３］√１２＜λ＜√１３，√１３＜λ＜（６５＋９√３）／２２のとき，αは存在しない．α＝（−１＋√１３）／２のときだけλ＝√１３．λ＝√１２については不可算無限個のαがある．

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ラグランジュ・スペクトルのようなものがほかにもあり、そういつ数の限界がフレイマン定数である。これより大きいすべての実数がマルコフ・スペクトルに属する

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[4]マルコフ不変量の下界μ≧√5

[5]μ＜3ならばμ=√(9-4/m^2),m=1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,・・・（マルコフ数列）

[6]√１２＜λ＜√１３，√１３＜λ＜（６５＋９√３）／２２のとき，αは存在しない．（ペロンの穴）

[7}μ＝4+θ=4.528の右部分ではマルコフスペクトルは稠密で穴はない（ホールの半直線）

[8]3〜4.528に間はあまりよくわかっていない

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[9]3より小さいμはｘ=1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,・・・に対する値(9x^2-4)^1/2/xに等しい。

μ＝√5＜√8＜(√221)/5＜(√1517)/13＜(√7565)/29＜・・・→

[10]μ=(9x^2-4)^1/2/xとなるのは、αが{(9x^2-4)^1/2+x+2y/x}/2xと同値な時に限られる

[11]αが2次の無理数でなければμ≧＝3

[12]μ＞3となるαを調べるのは大変な量力を要する。区間√１２＜λ＜√１３にμはないが

μ＝√１２となるαの集合は非加算である。一方、μ＝√１３となるのはα〜(3+√13)/2に限られる。

[13]√１３＜λ＜（６５＋９√３）／２２のとき，αは存在しない．μ＝（６５＋９√３）／２となるαの集合は非加算である。

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