最初に２群に分けてから3次方程式を解いた方が、きれいな解が得られる。

正13角形のベキ根表示

2COS(2π/13)=(-1+√13)/6+{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3+{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3

が成り立つ。

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最初に３群に分けてから２次方程式を解くと、

ω=(-1+i√3)/2

B1=-1/3+ω^2{(-65+39i√3)/54}^1/3+ω{(-65-39i√3)/54}^1/3

B4=-1/3+ω{(-65+39i√3)/54}^1/3+ω^2{(-65-39i√3)/54}^1/3とおくと、

x=2COS(2π/13)=(B1+√(B1*B1-4*B4))/2

xはx^2-B1x+B4=0の解

ω=(ω^3)^1/3

ω^2=(ω^6)^1/3として{}^1/3の中に入れてしまううと、ω^3=1、ω^6=1となってしまう.

どうやって計算したらいいだろうか？

a+bi=(a^2+b^2)^1/2{a/(a^2+b^2)^1/2+ib/(a^2+b^2)^1/2}として、虚部を消すことを考える。

|-65+39i√3|/54=(65^2+3・39^2)^1/2/54＝(13^3・4)^1/2/54=r1

-65/54=r1cost1,39√3/54=r1sint1

B1+1/3=ω^2(r1^1/3cos(t1/3)+ir1^1/3sin(t1/3))+ω(r1^1/3cos(t1/3)+ir1^1/3sin(-t1/3))

=(ω^2+ω)r1^1/3cos(t1/3)+i(ω^2-ω)r1^1/3sin(t1/3)

=-r1^1/3cos(t1/3)+i√3r1^1/3sin(t1/3)

B4+1/3=ω(r1^1/3cos(t1/3)+ir1^1/3sin(t1/3))+ω^2(r1^1/3cos(t1/3)+ir1^1/3sin(-t1/3))

=(ω+ω^2)r1^1/3cos(t1/3)+i(ω-ω^2)r1^1/3sin(t1/3)

=-r1^1/3cos(t1/3)-i√3r1^1/3sin(t1/3)

複素数係数の2次方程式

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x-{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3=(-1+√13)/2としてみる。

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +{{(26-5√13+i3√39)/54}^2}^1/3+{{(26-5√13-i3√(39)/54}^2}^1/3+2{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3=(14-2√13)/4

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +{130(5-2√13)+i78(2√13-5)√3/54^2}^1/3 +{130(5-2√13)-i78(2√13-5)√3/54^2}^1/3 +2{52√13(2√13-5)/54^2}^1/3=(14-2√13)/4

ここで2(2√13-5)/54=aとおくと

(-1+√13)/2=(3+27a)/4,26√13/54=13(5+27a)/54

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +a^1/3{(-65+i39√3)/54}^1/3+a^1/3{(-65-i39√3)/54}^1/3+a^1/3・2{26√13/54}^1/3-(14-2√13)/4=0

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a+bi=(a^2+b^2)^1/2{a/(a^2+b^2)^1/2+ib/(a^2+b^2)^1/2}として、虚部を消すことを考える。

|26-5√13+i3√39|/54→{(1352-260√13)^1/2}/54={52(26-5√13)}^1/2/54=r1

(26-5√13)/54=r1cost1,3√39/54=r1sint1,3√39/54=r1sin(-t1)

(-130(2√13-5)+i78(2√13-5)√3)/54^2は26で括ることができる

26(2√13-5)(-5-i3√3)/54^2=26(2√13-5)√52(-5/√52-i3√3/√52)|/54^2,r2=26(2√13-5)√52/54^2 -130(2√13-5)/54^2=r2cost2,78(2√13-5)√3/54^2=r2sint2

52√13(2√13-5)/54^2, (14-2√13)/4はこのまま用いる

x^2-2{2r1^1/3cos(t1/3)}x +2r2^1/3cos(t2/3)+2{52√13(2√13-5)/54^2}^1/3-(14-2√13)/4=0

実数係数の２次方程式・・・これでは同じ2次方程式にはなりえない

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