［Ｑ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＝？

［Ｑ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＝？

これらの解法を紹介したい．

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これらの解法を紹介したい．

　α＝ｃｏｓ２π／１３＋ｉｓｉｎ２π／１３

　α^k＝ｃｏｓ２ｋπ／１３＋ｉｓｉｎ２ｋπ／１３

β1＝α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12とおく．

α^13＝１→（α−１）（α^12＋α^11＋α^10＋α^9＋α^8＋α^7+α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＋１）＝０

β~＝（α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12）~＝α^2＋α^5＋α^6＋α^72＋α^8＋α^11

β＋β~＝−１・・・αが消える

β・β~＝−３・・・αが消える・・・αが消える

　したがって，β1,β2はｚ^2＋ｚ−３＝０の２根

　　（−１±√１３）／２

　　β1＝（−１＋√１３）／２，β2＝（−１−√１３）／２

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＋ｃｏｓ２０π／１３＋ｃｏｓ２４π／１３

＝ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３−ｃｏｓ５π／１３−ｃｏｓ７π／１３−ｃｏｓ１１π／１３

＝（−１＋√１３）／２

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＋ｓｉｎ２０π／１３＋ｓｉｎ２４π／１３

＝ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３−ｓｉｎ５π／１３−ｓｉｎ７π／１３−ｓｉｎ１１π／１３

＝（−１−√１３）／２

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mod13で考える。

2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12

2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^10=10,2^11=7,2^12=1

項の順番に従って２群に分けると

a^2+a^8+a^6+a^11+a^5+a^7

a^4+a^3+a^12+a^9+a^10+a

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最初に２群に分けてから3次方程式を解いた方が、きれいな解が得られる。

正13角形のベキ根表示

2COS(2π/13)=(-1+√13)/6+{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3+{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3

が成り立つ。

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最初に３群に分けてから２次方程式を解くと、

ω=(-1+i√3)/2

B1=-1/3+ω^2{(-65+39i√3)/54}^1/3+ω{(-65-39i√3)/54}^1/3

B4=-1/3+ω{(-65+39i√3)/54}^1/3+ω^2{(-65-39i√3)/54}^1/3とおくと、

x=2COS(2π/13)=(B1+√(B1*B1-4*B4))/2

xはx^2-B1x+B4=0の解

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x=2COS(2π/13)=(-1+√13)/2+{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3+{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3

x-(-1+√13)/2={(26-5√13+i3√39)/54}^1/3+{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3

{x-(-1+√13)/2}^2

={{(26-5√13+i3√39)/54}^2}^1/3+{{(26-5√13-i3√(39)/54}^2}^1/3+2{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3

={(26-5√13)^2-9・39+2・i3√13(26-5√13)/54^2}^1/3 +{(26-5√13)^2-9・39-2・i3√39(26-5√13)/54^2}^1/3 +2{(26-5√13)^2+9・39)/54^2}^1/3

={(1001-260√13)-351+i6(26√13-65)/54^2}^1/3 +{(1001-260√13)-351-i6(26√13-65)/54^2}^1/3 +2{(1001-260√13)+351)/54^2}^1/3

={(650-260√13)+i6(26√13-65)/54^2}^1/3 +{(650-260√13)-i6(26√13-65)/54^2}^1/3 +2{(1352-260√13)/54^2}^1/3

={130(5-2√13)+i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +{130(5-2√13)-i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +2{52(26-5√13)/54^2}^1/3

={130(5-2√13)+i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +{130(5-2√13)-i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +2{52√13(2√13-5)/54^2}^1/3

ここで2(2√13-5)/54=aとおくと

=a^1/3{(-65+i39)/54}^1/3+a^1/3{(-65-i39)/54}^1/3+a^1/3・2{26√13/54}^1/3

(-1+√13)/2=(3+27a)/4,26√13/54=13(5+27a)/54・・・誤りあり

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x^2-(3+27a)/2x+{(3+27a)/4}^2=a^1/3{(-65+i39)/54}^1/3+a^1/3{(-65-i39)/54}^1/3+a^1/3{13(5+27a)/54}^1/3

だいぶ近い形になったが・・・このままではx^2-B1x+B4=0とはならない。

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x-{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3=(-1+√13)/2としてみる。

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +{{(26-5√13+i3√39)/54}^2}^1/3+{{(26-5√13-i3√(39)/54}^2}^1/3+2{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3=(14-2√13)/4

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +{130(5-2√13)+i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +{130(5-2√13)-i78(2√13-5)/54^2}^1/3 +2{52√13(2√13-5)/54^2}^1/3=(14-2√13)/4

ここで2(2√13-5)/54=aとおくと

(-1+√13)/2=(3+27a)/4,26√13/54=13(5+27a)/54

x^2-2{{(26-5√13+i3√39)/54}^1/3-{(26-5√13-i3√(39)/54}^1/3}x +a^1/3{(-65+i39)/54}^1/3+a^1/3{(-65-i39)/54}^1/3+a^1/3・2{13(5+27a)/54}^1/3-{(3+27a)/4}^2=0・・・誤りあり

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