［Ｑ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＝？

［Ｑ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＝？

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これらの解法を紹介したい．

　α＝ｃｏｓ２π／１３＋ｉｓｉｎ２π／１３

　α^k＝ｃｏｓ２ｋπ／１３＋ｉｓｉｎ２ｋπ／１３

β＝α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12とおく．

α^13＝１→（α−１）（α^12＋α^11＋α^10＋α^9＋α^8＋α^7+α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＋１）＝０

β~＝（α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12）~＝α^2＋α^5＋α^6＋α^7＋α^8＋α^11

β＋β~＝−１・・・αが消える

β・β~＝−３・・・αが消える・・・αが消える

　したがって，β，β~はｚ^2＋ｚ−３＝０の２根

　　（−１±√１３）／２

　　β＝（−１＋√１３）／２，β~＝（−１−√１３）／２

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＋ｃｏｓ２０π／１３＋ｃｏｓ２４π／１３

＝ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３−ｃｏｓ５π／１３−ｃｏｓ７π／１３−ｃｏｓ１１π／１３

＝（−１＋√１３）／２

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＋ｓｉｎ２０π／１３＋ｓｉｎ２４π／１３

＝ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３−ｓｉｎ５π／１３−ｓｉｎ７π／１３−ｓｉｎ１１π／１３

＝（−１−√１３）／２

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mod13で考える。

2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12

2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^10=10,2^11=7,2^12=1

項の順番に従って4群に分けると

a^2+a^6++a^5

a^4+a^12+a^10

a^8+a^11+a^4

a^3+a^9+a

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a1＝α＋α^12、a3＝α^3＋α^10、a4＝α^4＋α^9とおくと

a1＋a3+a4=b1＝（−１＋√１３）／２

γ・δ=α^4+α^11+α^2+α^9

δ・ε=α^7+α^12+α+α^6

ε・γ=α^5+α^10+α^3+α^8

γ・δ+δ・ε+ε・γ=-1

γ・δ・ε=(α^4+α^11+α^2+α^9)(α^4＋α^9)=α^8+α^2+α^6+1+1+α^7+α^11+α^5=2+β~＝（3−√１３）／２

γ、δ,εはx^3-（−１＋√１３）／２x^2-x-（3−√１３）／２=0の解である,γ=2cos(2π/13)

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α^2＋α^5＋α^6＋α^7＋α^8＋α^11=（−１−√１３）／２

b2=α^2＋α^11,b5=a^5＋α^8,b6=α^6＋α^7

B2+b5+b6=（−１−√１３）／２

b2b5=a^7+a^10+a^3+a^6

b2b6=a^8+a^9+a^4+a^5

b5b6=a^11+a^12+a+a^2

b2b5b6=1+a^3+a^9+a^12+a+a^4+a^10+1=2+b1=（3+√１３）／２

b2,b5,b6εはx^3-（−１-√１３）／２x^2-x-（3+√１３）／２=0の解である,b2=2cos(4π/13)

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