どのような奇素数ｎに対しても法ｎに関する原始根は存在する（ガウス）．さらに，ガウスは円分方程式：ｚ^19＝１の１の１９乗根

　　ｚ＝ｃｏｓ（２π／１９）＋ｉｓｉｎ（２π／１９）

の解法がｎ＝１９に対してｎ−１＝３・３・２と素因数分解されることから，次数１９の円分方程式が２つの３次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示している．詳細は

　　［参］高瀬正仁「アーベル・不可能の証明へ」現代数学社

を参照されたい．

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z^18+z^17+・・・+z+1=0の18根の置換は

法19の原始根を2として、項の順番にしたがって、3群に分けると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７

　　２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，

　　２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，

　　２^17＝１０，２^18＝１

α2=z^2+z^16+z^14+z^17+z^3+z^5

α4=z^4+z^13+z^9+z^15+z^6+z^10

α1=z^8+z^7+z^18+z^11+z^12+z^1

この３つの値はx^3+x^2-6x-7=0の根となる。

α1+α2+α4=-1

α1α2+α2α4+α4α1=-6

α1α2α4=7

地道に計算するしかない・・・

α2=4-α1^2

α4=-5-α1+α1^2

α1^2=z^16+z^14+z^17+z^3+z^5+z^2+2z^15+2z^7+2+2z^2+2z^9+2z^6+2z^18+2+2z+2z^8+2z^10+2z^11+2+2z^4+2z^12+2z^13

α1^2=α2+6 +2z^15+2z^9+2z^6+2z^10+2z^4+2z^13 +2z^7+2z^18+2z+2z^8+2z^11+2z^12

α1^2=α2+6+2α4+2α1

さらに

α1=(z+z^18)+(z^8+z^11)+(z^7+z^12)=β1+β8+β7

に分割され、β1、β8、β7はx^3-α1x^2+(α1+α4)x-2-α2=0の根となる。

β1β8=z^9+z^12+z^7+z^10

β8β7=z^15+z+z^18+z^4

β7β1=z^8+z^13+z^6+z^11

β1β8+β8β7+β7β1=z^9+z^12+z^7+z^10+z^15+z+z^18+z^4+z^8+z^13+z^6+z^11＝(α1+α4)

β1β8=z^9+z^12+z^7+z^10

β1β8β7=(z^9+z^12+z^7+z^10)(z^7+z^12)=z^16+1+z^14+z^17+z^2+z^5+1+z^3＝α2

さらに

zとz^18はx^2-β1x+1=0を満たす。

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3分割→3分割→2分割と進んでいる

正13角形では3分割→2分割→2分割あるいは2分割→3分割→2分割と進んでみたい

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この３つの値はx^3+x^2-6x-7=0の根となる。

x=(y-1/3)とおく

(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-6(y-1/3)-7=0

y^3-y^2+1/3・y-1/27+y^2-2/3・y+1/9-6y+2-7=0

y^3+(1/3-2/3-6)y-1/27+1/9-5=0

y^3+(-19/3)y+(-1+3)/27-5=0=0

y^3+(-19/3)y+2/27-135/27=0

y^3+(-19/3)y-133/27=0

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　３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

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p=19/3

q=133/27

A=133/54+{(133/54)^2-(19/9)^3}^1/2

B=133/54-{(133/54)^2-(19/9)^3}^1/2

A=133/54+{(7)^2・(19)^2/4/9^3-(19/9)^3}^1/2

B=133/54-{(7)^2・(19)^2/4/9^3-(19/9)^3}^1/2

A=133/54+19/9{(7)^2・/4/9-(19/9)}^1/2

B=133/54-19/9{(7)^2/4/9-(19/9)}^1/2

A=133/54+19/9{(7)^2・/4/9-76/36}^1/2

B=133/54-19/9{(7)^2/36-76/36)}^1/2

A=133/54+19/9{-27/36}^1/2

B=133/54-19/9{-27/36}^1/2

A=133/54+19/18{-3}^1/2

B=133/54-19/18{-3}^1/2

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