a^4=0,1,16,81,256,・・・

1,2,17,82,

16,17,32,97

81,82,97

a^4+b^4=0,1,2,16,17,32,81,82,97,・・・

これに対しては15定理は成立しない。

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mod8で見ると

a^4=0,1,0,1,・・・

a^4+b^4=0,1,2

a^4+b^4+c^4=0,1,2,3

a^4+b^4+c^4+d^4=0,1,2,3,4

大きな数はこれでいいのであるが、小さな数が8つの四乗数の和で表されるとは限らない

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mod8でみると0-7がそろうのは8a^4のとき、

a^4=0,1,16,81,256,・・・

でみると100までの間で最も間隔があいているのは16-81の間 ＝65

多くとも4回でカバーできる範囲なので、8x4＝32四乗数和でカバー可能であることがわかる。

16の2-4倍数も加えると0,1,16,32,48,64,80,81,96,256,・・・

最も間隔があくのは16なので、あと2回でカバーできる。8x3=24

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mod8でみると0-7がそろうのはa^2+b^2+c^2+d^2のとき、

a^2=0,1,4,9,25,36,49,64,81,100,・・・

100までの間で最も間隔があいているのは81-100の間 ＝20

多くとも3回でカバーできる範囲なので、4x3＝12平方数でカバー可能であることがわかる。

25,36の2-4倍数も加えると0,1,4,9,25,36,49,50,64,72,75,81,96,100,・・・

最も間隔があくのは15なので、あと2回でカバーできる。4x3=12

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mod9でみると0-8がそろうのはa^3+b^3+c^3+d^3のとき、

a^3=0,1,27,64,125,・・・

100までの間で最も間隔があいているのは27-64の間 ＝37

多くとも5回でカバーできる範囲なので、4x5＝20立方数でカバー可能であることがわかる。

27の2-4倍数も加えると0,1,27,54,64,81,100,・・・

最も間隔があくのは20なので、あと3回でカバーできる。4x4=16

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［４］ヒルベルトの定理（ウェアリングの問題）

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」ことを証明抜きで主張しました．

　ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」ことが肯定的に証明されています．

　　ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k

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　ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます。最良値を完全に決めることは難しいかもしれませんが、この定理自体は当然成り立つと考えられます。

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