pを奇素数とする。

ｐ＝ｘ^2＋ｍｙ^2＝（ｘ+√(-m)ｙ）（ｘ-√(-m)ｙ）　　（x,yは整数）

となる因数分解が存在するための条件について考える。

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［１］４ｎ＋１型素数

　　５＝１^2＋２^2

　　１３＝２^2＋３^2

　　１７＝１^2＋４^2

　　２９＝２^2＋５^2

　　３７＝１^2＋６^2

ａ^2＋ｂ^2の形に表されますが，４ｎ＋３型素数は表されません．

x^2=0,1,4 (mod 8)

x^2+y^2=0,1,2,4,5

4n+1=1,5,1,5,1,5,1,5 (mod8)

4n+3=3,7 (mod8)

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［２］３ｎ＋１型素数

　　７＝２^2＋３・１^2

　　１３＝１^2＋３・２^2

　　１９＝４^2＋３・１^2

　　３１＝２^2＋３・３^2

　　３７＝５^2＋３・２^2

ａ^2＋３ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

x^2+3y^2=0,1,3,4,5,7

3n+1=1,4,7,2,5,0,3,6 (mod8)

3n+2=2,5,0,3,6,1,4,7 (mod8)???

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［３］８ｎ＋１型，８ｎ＋３型素数

　　３＝１^2＋２・１^2

　　１１＝３^2＋２・１^2

　　１７＝３^2＋２・２^2

　　１９＝１^2＋２・３^2

　　４１＝３^2＋２・４^2

ａ^2＋２ｂ^2の形に表されますが，８ｎ＋５型，８ｎ＋７型素数は表されません．

x^2+2y^2=0,1,2,3,4,6

8n+1=1 (mod8)

8n+3=3 (mod8)

8n+5=5 (mod8)

8n+7=7 (mod8)

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［４］２０ｎ＋１型，２０ｎ＋９型素数は

ａ^2＋５ｂ^2の形に表されますが，２０ｎ＋３型，２０ｎ＋７型，２０ｎ＋１１型，２０ｎ＋１３型，２０ｎ＋１７型，２０ｎ＋１９型素数は表されません．

　２９＝３^2＋５・２^2，４１＝６^2＋１・２^2

　６１＝４^2＋５・３^2，８９＝３^2＋１・４^2

x^2+5y^2=0,1,4,5,6,7

20n+1=1,5 (mod8)

20n+3=3,7,3,7,3,7,3,7 (mod8)

20n+7=7,3,7,3,7,3,7,3 (mod8)

20n+9=1,5 (mod8)

20n+11=3,7 (mod8)

20n+13=1,5 (mod8)

20n+17=1,5 (mod8)

20n+19=3,7 (mod8)

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［５］２４ｎ＋１型，２４ｎ＋７型素数は

ａ^2＋６ｂ^2の形に表されますが，２４ｎ＋５型，２４ｎ＋７型，２４ｎ＋１１型，２４ｎ＋１３型，２４ｎ＋１７型，２４ｎ＋１９型，２４ｎ＋２３型素数は表されません．

x^2+6y^2=0,1,2,4,6,7

24n+1=1 (mod8)

24n+5=5 (mod8)

24n+7=7 (mod8)

24n+11=3 (mod8)

24n+13=5 (mod8)

24n+17=1 (mod8)

24n+19=3 (mod8)

24n+23=7 (mod8)???

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