［１］４ｎ＋１型素数は２つの平方数の和ｘ^2＋ｙ^2に分解される．

　　５＝１^2＋２^2

　　１３＝２^2＋３^2

　　１７＝１^2＋４^2

　　２９＝２^2＋５^2

　　３７＝１^2＋６^2

　　４１＝４^2＋５^2

［２］３ｎ＋１型素数（必然的に３ｎ＋１型素数）はｘ^2＋３ｙ^2に分解される．

　　７＝２^2＋３・１^2

　　１３＝１^2＋３・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　１９＝４^2＋３・１^2

　　２１＝２^2＋３・３^2

　　３７＝５^2＋３・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　４７＝４^2＋３・３^2

［３］８ｎ＋１型素数，８ｎ＋３型素数はｘ^2＋２ｙ^2に分解される．

　　３＝１^2＋２・１^2

　　１１＝３^2＋２・１^2

　　１７＝３^2＋２・２^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　１９＝１^2＋２・３^2

　　４１＝３^2＋２・４^2　　（４ｎ＋１型素数でもある）

　　４３＝５^2＋２・３^2

［４］８ｎ＋１型素数，８ｎ＋７型素数はｘ^2−２ｙ^2に分解される．

　　１７＝５^2−２・２^2

　　２３＝５^2−２・１^2

　　３１＝７^2−２・３^2

　　４１＝７^2−２・２^2

［５］２０ｎ＋３型素数，２０ｎ＋７型素数の積はｘ^2＋５ｙ^2に分解される．

　　７・２３＝１６１＝９^2＋５・４^2

　　４３・６７＝２８８１＝１^2＋５・２４^2

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「素数」を除外して考えてみたい。

x^2=0,1,4 (mod 8)

x^2+y^2=0,1,2,4,5

x^2+3y^2=0,1,3,4,5,7

x^2+2y^2=0,1,2,3,4,6

x^2-2y^2=0,1,2,4,6,7

x^2+5y^2=0,1,4,5,6,7

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4n+1=1,5,1,5,1,5,1,5 (mod8)

3n+1=1,4,7,2,5,0,3,6 (mod8)

8n+1=1 (mod8)

8n+3=3 (mod8)

8n+7=7 (mod8)

20n+3=3,7,3,7,3,7,3,7 (mod8)

20m+7=7,3,7,3,7,3,7,3 (mod8)

(20n+3)(20m+7)=1,5

奇数が一致している

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