a^3=0,1,8,27,64,・・・

1,2,9,28,65,

8,9,16,35,72

27,28,35,54,91

64,65,72,91,128

a^3+b^3=0,1,2,8,9,16,27,28,35,54,64,65,72,91,・・・

これに対しては15定理は成立しない。

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0,1,2,8,9,16,27,28,35,54,64,65,72,91,・・・

1,2,3,9,10,17,28,29,36,55,65,66,73,92,・・・

8,9,16,17,24,35,36,43,62,72,73,80,99,・・・

27,28,29,36,43,54,55,84,・・・

64,65,66,72,73,80,91,92,99,・・・

a^3+b^3+c^3=0,1,2,3,8,9,10,16,17,24,27,28,29,35,36,43,54,55,62,64,65,66,72,73,80,84,91,92,99,・・・

ある整数を３乗した数（立方数）を三つ，足したり引いたりしてNを作る問題には，4,5,13,14,22,23のように，９で割って余りが４か５になる数には答えがないこともわかっている．

x=0,1,2,3,4,5,6,7,8(mod9)に対して

x^3=0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1

x^3+y3+z^3=0,1,2,3,-1,-2,-3

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x^3+y3+z^3+w^4=0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4

したがって、すべての自然数を表現できるはずであるが、それは負の数も含めてという意味であって、正の数に限定すると9個の３乗数でないと23を表現することができないのである(9四乗数定理).

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