a^3=0,1,8,27,64,・・・

1,2,9,28,65,

8,9,16,35,72

27,28,35,54,91

64,65,72,91,128

a^3+b^3=0,1,2,8,9,16,27,28,35,54,64,65,72,91,・・・

これに対しては15定理は成立しない。

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a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3

0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,16,17,18,19,20,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,43,44,45,46,48,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,78,79,80,81,82,83,84,85,86,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,・・

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これまで見つかっていないのは7,14,15,21,22,23,42,47,49,50,61,77,87

a^3+b^3+c^3=0,1,2,3,8,9,10,16,17,24,27,28,29,35,36,43,54,55,62,64,65,66,72,73,80,84,91,92,99,・・・

0,1,2,3ですべてみつかるはず

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［４］ヒルベルトの定理（ウェアリングの問題）

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」ことを証明抜きで主張しました．

　ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」ことが肯定的に証明されています．

　　ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k

　ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます

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［５］ウェアリングの問題とヒルベルトの定理

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，

　　「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．

　ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．

　４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．

　１９四乗数定理：

　　「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」

は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．

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