■ラグランジュ・ルジャンドル・ラマヌジャン(その107)

a^3=0,1,8,27,64,125,・・・

a^3+b^3=0,1,2,8,9,16,27,28,35,54,64,65,72,91,125,126,128,133,152,189,250,・・・

これに対しては15定理は成立しない。

ある整数を3乗した数(立方数)を三つ,足したり引いたりして1〜100を作る問題で,最後まで残っていた42となる三つの組み合わせが64年目にしてついに見つかった.

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 この問題は1950年代,英国の数学者ルイス・モーデルが考え出した.例えば,1の3乗+1の3乗+1の3乗は3になる.4,4,−5の組み合わせでもそれぞれ3乗して足すと,64+64−125となって合計は3になる.モーデルは論文で「この2通り以外に3をつくれる組み合わせがあるのか,私には分からない.見つけるのは非常に難しいに違いない」と記した.

1955年には,3だけでなく,三つの数字を組み合わせて1〜100の数をすべてつくれるか,という問題に発展した.整数論の重要な定理「モーデル予想」を提案した大数学者の問いかけとあって,世界中の数学者が色めき立って考え始めた.手計算で手に負えなくなると,コンピューターによって手当たり次第に探されるようになり,2016年までに33と42を除くすべての答えが出た.13や14のように,9で割って余りが4か5になる数には答えがないこともわかった.さらに,資料によると

[Q]3乗した数を3つ足して3を作れるか?

[A]3=1^3+1^3+1^3

   =4^3+4^3−5^3 

   =(569936821221962380720)^3

   −(569936821113563493509)^3

   −(472715493453327032)^3

[Q]3乗した数を3つ足して42を作れるか?

[A]42=−(80538738812975974)^3

     −(80435758145817515)^3

     +(12602123297335631)^3

 これで100以下はすべて解決.1000以下では114,390,579,627,633,732,921,975が未解決.

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