【１】２元２次形式による整数の表現と１５の定理

　１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値２元２次形式

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ

が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．

　この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，

　　１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

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【２】ｎ元２次形式による整数の表現と２９０の予想

　１５の定理はbest-possibleの定理であったが，正定値ｎ元２次形式の場合も

　　１，２，３，５，６，７，１０，１３，１４，１５

　　１７，１９，２１，２２，２３，２６，２９，３０，３１

　　３４，３５，３７，４２，５８，９３，１１０，１４５，２０３，２９０

の数を表現するならば，すべての正の整数を表現するというのが２９０予想である．

　５変数２次形式，たとえば，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができるが，

　　２ａ^2＋ａｂ＋４ｂ^2＋ｂｃ＋ｃ^2＋２９ｄ^2＋２９ｄｅ＋２９ｅ^2

は２９０だけを表すことができない．

　４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

　普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，

　　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2

は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．

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　４変数２次形式では，たとえば，

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．５変数２次形式，たとえば，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができる

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　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2

a^2+2b^2:0,1,2,3,4,6,8,9,11,12

(0,0)0

(0,1)2

(0,2)8

(1,0)1

(1,1)3

(1,2)9

(2,0)4

(2,1)6

(2,2)12

(3,0)9

(3,1)11

a^2+2b^2+5c^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14

a^2+2b^2+5c^2+5d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14・・・15を表すことができない

a^2+2b^2+5c^2+6d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+5c^2+7d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+5c^2+8d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+5c^2+9d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+4c^2+10d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+4c^2+11d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15・・・15を表すことができない

a^2+2b^2+4c^2+md^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15・・・15を表すことができない

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　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができることになる

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