■ラグランジュ・ルジャンドル・ラマヌジャン（その１００）
【１】ラグランジュの定理（４平方和定理）
まず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．
整数の平方
０，１，４，９，１６，２５，・・・
は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・
１＝１^2＋０^2
２＝１^2＋１^2
４＝２^2＋０^2
５＝２^2＋１^2
８＝２^2＋２^2
９＝３^2＋０^2
１０＝３^2＋１^2
ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．
３＝１^2＋１^2＋１^2
６＝２^2＋１^2＋１^2
それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．
［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．
このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2
しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．
［２］ルジャンドルの定理（３平方和定理）
４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，
「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」
ルジャンドルは，２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，この結果を得ています．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
［３］ラグランジュの定理（４平方和定理）
また，前述の数値実験から「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？ さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」というより高度な問題が派生します．
「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」
というのが，ラグランジュの定理なのですが，驚くべきことに，７のみならず任意の自然数はたった４つの平方数の和の形に表せるのです．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破したのですが，その証明中で用いられる基本公式が
ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，
ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，
ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，
ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ
とおくと
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
が成り立つというもので，１７４８年にオイラーによって証明されています．
この基本公式はハミルトンの４元数（１８４３年）を使ったうまい方法でも証明されますが，それにしても，オイラーはどのようにして発見したのでしょう？ なお，四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち，
（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
となります．
上に掲げた基本公式は，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていること，すなわち，ｎ1が４つの平方数の和ならば，ｎ1ｎ2もそうであることを示しています．これにより，ラグランジュの定理を証明するには，すべての素数ｐが４つの平方数の和であるということの証明に帰着されることになります．また，
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
ですから，ｐは素数と仮定してもよいわけです．すべての奇素数ｐが４つの平方数の和であることの証明も，背理法の１種である無限降下法によって証明できるのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
