ａ^2＋２ｂ^2＋３ｃ^2＋４ｄ^2

はすべての正の整数を表現することができる．

　　１＝（１，０，０，０）　　９＝（３，０，０，０）

　　２＝（０，１，０，０）　　10＝（１，１，１，１）

　　３＝（０，０，１，０）　　11＝（０，２，１，１）

　　４＝（０，０，０，１）　　12＝（０，０，２，０）

　　５＝（１，０，０，１）　　13＝（１，０，２，０）

　　６＝（２，１，０，０）　　14＝（０，１，２，０）

　　７＝（２，０，１，０）　　15＝（１，１，２，０）

　　８＝（０，２，０，０）　　16＝（・・・・・・・）

　この先は恐ろしくあきあきする作業になるに違いないが，１５定理はこの先を試す必要がないことを保証してくれる．

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　ａ^2＋２ｂ^2＋３ｃ^2

a^2+2b^2:0,1,2,3,4,6,8,9,11,12

(0,0)0

(0,1)2

(0,2)8

(1,0)1

(1,1)3

(1,2)9

(2,0)4

(2,1)6

(2,2)12

(3,0)9

(3,1)11

a^2+2b^2+3c^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+3d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+4d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+5d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+6d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+7d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+8d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+9d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+10d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

a^2+2b^2+3c^2+11d^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15・・・10を表すことができない

a^2+2b^2+3c^2+md^2:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15・・・10を表すことができない

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