ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

で書けるだろうか？

　すべての整数はＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるが，それは５４通りの組み合わせしかないことが知られている（ラマヌジャン）．

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ラマヌジャンのリストは

(1,1,1,1-7)7

(1,1,2,2-14)13

(1,1,3,3-6)4

(1,1,4,x)

(1,2,2,2-7)6

(1,2,3,3-10)8

(1,2,4,4-14)11

(1,2,5,6-10)5

(1,2,6,x)

の54通りである。

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　４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．また，（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）の少なくともひとつは１であるから（２，３，４，５）はリストに含まれないのである．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

　１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．（8n+7に含まれる。mod15ではないのである。）

この定理を使わないでラマヌジャンのリストを導出できればよかったのであるが、使うしかないようである。

x^2+y^2+z^2+8w^2は7、15を表すことができない。

ｍ＞8として、x^2+y^2+z^2+mw^2は1、15を表すことができない。

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　ａ^2＋２ｂ^2＋３ｃ^2＋４ｄ^2

はすべての正の整数を表現することができる．

　　１＝（１，０，０，０）　　９＝（３，０，０，０）

　　２＝（０，１，０，０）　　10＝（１，１，１，１）

　　３＝（０，０，１，０）　　11＝（０，２，１，１）

　　４＝（０，０，０，１）　　12＝（０，０，２，０）

　　５＝（１，０，０，１）　　13＝（１，０，２，０）

　　６＝（２，１，０，０）　　14＝（０，１，２，０）

　　７＝（２，０，１，０）　　15＝（１，１，２，０）

　　８＝（０，２，０，０）　　16＝（・・・・・・・）

　この先は恐ろしくあきあきする作業になるに違いないが，１５定理はこの先を試す必要がないことを保証してくれる．

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