［Ｑ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＝？

［Ｑ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＝？

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これらの解法を紹介したい．

　α＝ｃｏｓ２π／１３＋ｉｓｉｎ２π／１３

　α^k＝ｃｏｓ２ｋπ／１３＋ｉｓｉｎ２ｋπ／１３

β＝α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12とおく．

α^13＝１→（α−１）（α^12＋α^11＋α^10＋α^9＋α^8＋α^7+α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＋１）＝０

β~＝（α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12）~＝α^2＋α^5＋α^6＋α^72＋α^8＋α^11

β＋β~＝−１・・・αが消える

β・β~＝−３・・・αが消える・・・αが消える

　したがって，β，β~はｚ^2＋ｚ−３＝０の２根

　　（−１±√１３）／２

　　β＝（−１＋√１３）／２，β~＝（−１−√１３）／２

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＋ｃｏｓ２０π／１３＋ｃｏｓ２４π／１３

＝ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３−ｃｏｓ５π／１３−ｃｏｓ７π／１３−ｃｏｓ１１π／１３

＝（−１＋√１３）／２

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＋ｓｉｎ２０π／１３＋ｓｉｎ２４π／１３

＝ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３−ｓｉｎ５π／１３−ｓｉｎ７π／１３−ｓｉｎ１１π／１３

＝（−１−√１３）／２

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さらに

γ＝α＋α^3＋α^9、δ＝α^4＋α^10＋α^12とおくと

γ＋δ=β＝（−１＋√１３）／２

γ・δ=３＋β^＝３＋（−１−√１３）／２

γ、δはx^2-(γ＋δ)x+γ・δ=0の解であるから

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＝（−１＋√１３）／４

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＝1/4・{26-6√12}^1/2

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mod13で考える。

2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12

2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^10=10,2^11=7,2^12=1

項の順番に従って4群に分けると

a^2+a^6++a^5

a^4+a^12+a^10

a^8+a^11+a^4

a^3+a^9+a

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γ＝α＋α^12、δ＝α^3＋α^10、ε＝α^4＋α^9とおくと

γ＋δ+ε=β＝（−１＋√１３）／２

γ・δ=α^4+α^11+α^2+α^9

δ・ε=α^7+α^12+α+α^6

ε・γ=α^5+α^10+α^3+α^8

γ・δ+δ・ε+ε・γ=-1

γ・δ・ε=(α^4+α^11+α^2+α^9)(α^4＋α^9)=α^8+α^2+α^6+1+1+α^7+α^11+α^5=2+β~＝（3−√１３）／２

γ、δ,εはx^3-（−１＋√１３）／２x^2-x-（3−√１３）／２=0の解である,γ=2cos(2π/13)

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最初に３群に分けると

b2=a^2+a^3+a^11+a^10

b4=a^4+a^6+a^9+a^7

b1=a^8+a^12+a^5+a

b2b4=a^6+a^8+a^11+a^9+a^7+a^9+a^12+a^10+a^2+a^4+a^7+a^5+a+a^3+a^6+a^4

=2b4+b1+b2

b4b1=a^12+a^3+a^9+a^5+a+a^5+a^11+a^7+a^4+a^8+a+a^10+a^2+a^6+a^12+a^8

=2b1+b2+b4

b1b2=a^10+a+a^7+a^3+a^11+a^2+a^8+a^4+a^6+a^10+a^3+a^12+a^5+a^9+a^2+a^11

=2b2+b1+b4

b2b4+b4b1+b1b2=4(b1+b2+b4)=-4

b2b4b1=2b4b1+b1^2+b1b2=4b1+2b2+2b4+b1^2+2b2+b1+b4=5b1+4b2+3b4+b1^2

b1^2=a^3+a^11+a^10+a^2+2a^7+2+2a^9+2a^4+2+a^6

b1^2=b2+2a^7+2+2a^9+2a^4+2+a^6=b2+2b4+4

b2b4b1=5b1+4b2+3b4+b2+2b4+4=5(b1+b2+b4)+4=-1

b1,b2,b4はx^3-x^2-4x-1=0の3根

b1=(a+a^12)+(a^5+a^8)

c1=a+a^12,c2=a^5+a^8

c1c2=a^6+a^9+a^4+a^7=b4

c1,c2はx^2-b1x+b4=0の2根

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