［Ｑ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＝？

［Ｑ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＝？

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これらの解法を紹介したい．

　α＝ｃｏｓ２π／１３＋ｉｓｉｎ２π／１３

　α^k＝ｃｏｓ２ｋπ／１３＋ｉｓｉｎ２ｋπ／１３

β＝α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12とおく．

α^13＝１→（α－１）（α^12＋α^11＋α^10＋α^9＋α^8＋α^7+α^6＋α^5＋α^4＋α^3＋α^2＋α＋１）＝０

β~＝（α＋α^3＋α^4＋α^9＋α^10＋α^12）~＝α^2＋α^5＋α^6＋α^72＋α^8＋α^11

β＋β~＝－１・・・αが消える

β・β~＝－３・・・αが消える・・・αが消える

　したがって，β，β~はｚ^2＋ｚ－３＝０の２根

　　（－１±√１３）／２

　　β＝（－１＋√１３）／２，β~＝（－１－√１３）／２

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＋ｃｏｓ１８π／１３＋ｃｏｓ２０π／１３＋ｃｏｓ２４π／１３

＝ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３－ｃｏｓ５π／１３－ｃｏｓ７π／１３－ｃｏｓ１１π／１３

＝（－１＋√１３）／２

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＋ｓｉｎ１８π／１３＋ｓｉｎ２０π／１３＋ｓｉｎ２４π／１３

＝ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３－ｓｉｎ５π／１３－ｓｉｎ７π／１３－ｓｉｎ１１π／１３

＝（－１－√１３）／２

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さらに

γ＝α＋α^3＋α^9、δ＝α^4＋α^10＋α^12とおくと

γ＋δ=β＝（－１＋√１３）／２

γ・δ=３＋β^＝３＋（－１－√１３）／２

γ、δはx^2-(γ＋δ)x+γ・δ=0の解であるから

［Ａ］ｃｏｓ２π／１３＋ｃｏｓ６π／１３＋ｃｏｓ８π／１３＝（－１＋√１３）／４

［Ａ］ｓｉｎ２π／１３＋ｓｉｎ６π／１３＋ｓｉｎ８π／１３＝1/4・{26-6√12}^1/2

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mod13で考える。

2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12

2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^10=10,2^11=7,2^12=1

項の順番に従って4群に分けると

a^2+a^6++a^5

a^4+a^12+a^10

a^8+a^11+a^4

a^3+a^9+a

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最小の原始根を掲げると

7→3

11→2

13→2

17→3

19→2

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