［補］互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．さらにまた，別の例を挙げてみましょう．

［補］４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

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x^2,y^2,z^2,w^2=0,1,4,1,0,1,4,1 (mod8)

これらの4つの組み合わせで8k,8k+1,・・・,8k+7すべて作ることができる

3つの組み合わせでは8k+7を作ることはできない。

ｍ＝2→0,2,0,2,0,2,0,2

x^2,y^2,z^2,mw^2、これらの4つの組み合わせで8k,8k+1,・・・,8k+7すべて作ることができる

ｍ＝3→0,3,4,3,0,3,4,3

ｍ＝4→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝5→0,5,4,5,0,5,4,5

ｍ＝6→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝7→0,7,4,7,0,7,4,7

x^2,y^2,z^2,mw^2、これらの4つの組み合わせで8k,8k+1,・・・,8k+7すべて作ることができる

ｍ＝8→0,0,0,0,0,0,0,0

x^2,y^2,z^2,mw^2、これらの4つの組み合わせでは8k+7を作ることはできない。

ｍ＝9→0,1,4,1,0,1,4,1 ・・・元に戻る

ｍ＝10→0,2,0,2,0,2,0,2

ｍ＝11→0,3,4,3,0,3,4,3

ｍ＝12→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝13→0,5,4,5,0,5,4,5

ｍ＝14→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝15→0,7,4,7,0,7,4,7

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　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７）がリストアップされたことになる

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x^2,y^2=0,1,4,1,0,1,4,1 (mod8)

これらの2つの組み合わせでは8k+3、8ｋ+6、8ｋ+7を作ることはできない。

ｍ＝2→0,2,0,2,0,2,0,2

x^2,y^2,2z^2、これらの3つの組み合わせで8k,8k+1,・・・,8k+7すべて作ることができる・・・OK

x^2,y^2,2z^2,mw^2、これらの4つの組み合わせで8k,8k+1,・・・,8k+7すべて作ることができる

ｍ＝2→0,2,0,2,0,2,0,2

ｍ＝3→0,3,4,3,0,3,4,3

ｍ＝4→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝5→0,5,4,5,0,5,4,5

ｍ＝6→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝7→0,7,4,7,0,7,4,7

ｍ＝8→0,0,0,0,0,0,0,0

ｍ＝9→0,1,4,1,0,1,4,1

ｍ＝10→0,2,0,2,0,2,0,2・・・元に戻る

ｍ＝11→0,3,4,3,0,3,4,3

ｍ＝12→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝13→0,5,4,5,0,5,4,5

ｍ＝14→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝15→0,7,4,7,0,7,4,7

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（１，１，２，２），（１，１，２，３）

　（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）

　（１，１，２，７）はいいのであるが

（１，１，２，８），（１，１，２，９）

　（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２）

　（１，１，２，１３），（１，１，２，１４）は必要だろうか？

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mod15で考えればどうなるのだろうか？

x^2,y^2,z^2,w^2=0,1,4,9,1,10,6,4,4,6,10,1,9,4,1(mod15)

これらの4つの組み合わせで15k,15k+1,・・・,15k+14すべて作ることができる

3つの組み合わせで15k,15k+1,・・・,15k+14すべて作ることができる

2つの組み合わせで15k+3以外すべて作ることができる

ｍ＝2→0,2,8,3,2,5,12,8,8,12,5,3,8,2

x^2,y^2,2z^2、これらの3つの組み合わせで15k,15k+1,・・・,15k+14すべて作ることができる

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0,1,4,9,1,10,6,4,4,6,10,1,9,4,1(mod15)

ｍ＝2→0,2,8,3,2,5,12,8,8,12,5,3,8,2

ｍ＝3→0,3,12,12,3,0,3,12,12,3,0,12,3

ｍ＝4→0,4,1,6,4,10,9,1,1,9,10,4,6,1,4

ｍ＝5→0,5,5,0,5,5,0,5,5,0,5,5,0,5,5

ｍ＝6→0,6,9,9,6,0,6,9,9,6,0,6,9,9,6

ｍ＝7→0,7,13,3,7,10,12,13,13,12,10,7,3,13,7

ｍ＝8→0,8,2,12,8,5,3,2,2,3,5,8,12,2,8

ｍ＝9→0,9,6,6,9,0,9,6,6,9,0,9,6,6,9

ｍ＝10→0,10,10,0,10,10,0,10,10,0,10,10,0,10,10

ｍ＝11→0,11,14,9,11,5,6,14,14,6,5,11,9,14,11

ｍ＝12→0,12,3,3,12,0,12,3,3,12,0,12,12,3,3,12

ｍ＝13→0,13,7,12,13,10,3,7,7,3,10,13,12,7,13

ｍ＝14→0,14,11,6,14,5,9,11,11,9,5,14,6,11,14

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