以下のような問題が理科大で出ました。収束しますし、調和数列の和とは違いますが、バーゼル問題の親戚です。しかし、高校数学の範囲外です。(T)

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最初に考えた解法は

p=(3-√17)/2＞-1

q=(3+√17)/2＞-1として

Σ(1,∞)1/(n^2+3n-2)=Σ(1,∞)1/(n+p)(n+q)

=1/(q-p)・{(1/(p+1)-1/(q+1))+(1/(p+2)-1/(q-2))+・・・}

=1/(q-p)・∫(0,1)(x^p-x^q)・(1+x+x^2+・・・)dx

=1/(q-p)・∫(0,1)(x^p-x^q)/(1-x)dx

しかし、この積分がわからない・・・

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仕方がないので、公式集を眺めていると

tan(πx/2)=4x/π・Σ(1,∞)1/{(2k-1)^2-x^2}

π/x・tan(πx/2)=Σ(1,∞)4/{(2k-1)^2-x^2}

π/x・tan(πx/2)=Σ(1,∞)1/{k^2-k+(1-x^2)/4}

π/x・tan(πx/2)=4/(1-x^2)+Σ(2,∞)1/{k^2-k+(1-x^2)/4}

x=√17を代入すると

π/√17・tan(π√17/2)=-1/4+Σ(2,∞)1/{k^2-k-4}

正解にはたどり着かない・・・

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