√２に収束する１次分数列のために，連続した平方数の和に等しい平方数を考える．

　　ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝ｍ^2

このとき，ｍ：ｎは近似的に√２になる．

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　ｍ^2＝ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１が成立すれば，

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）

も成立する．

　　（２ｍ＋３ｎ＋ａ）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋ａ＋１）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋ｂ）^2

左辺＝（２ｍ＋３ｎ）^2＋２ａ（２ｍ＋３ｎ）＋ａ^2＋（２ｍ＋３ｎ）^2＋２（ａ＋１）（２ｍ＋３ｎ）＋（ａ＋１）^2

＝２（２ｍ＋３ｎ）^2＋（４ａ＋２）（２ｍ＋３ｎ）＋２ａ^2＋２ａ＋１

右辺＝（３ｍ＋４ｎ）^2＋２ｂ（３ｍ＋４ｎ）＋ｂ^2

左辺－右辺＝－ｍ^2＋２ｎ^2＋（８ａ＋４－６ｂ）ｍ＋（１２ａ＋６－８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ＋１－ｂ^2

＝（８ａ＋４－６ｂ）ｍ＋（１２ａ＋４－８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ－ｂ^2

８ａ－６ｂ＝－４

１２ａ－８ｂ＝－４

２４ａ－１８ｂ＝－１２

２４ａ－１６ｂ＝－８

－２ｂ＝－４，ｂ＝２，ａ＝１

２ａ^2＋２ａ－ｂ^2＝０　　　（ＯＫ）

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）^2

これ以外に解はない．

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　ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１

　（１２ｍ＋１７ｎ＋ａ）^2＋（１２ｍ＋１７ｎ＋ａ＋１）^2＝（１７ｍ＋２４ｎ＋ｂ）^2

では成立するだろうか？

左辺＝（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋２ａ（１２ｍ＋１７ｎ）＋ａ^2＋（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋２（ａ＋１）（１２ｍ＋１７ｎ）＋（ａ＋１）^2

＝２（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋（４ａ＋２）（１２ｍ＋１７ｎ）＋２ａ^2＋２ａ＋１

右辺＝（１７ｍ＋２４ｎ）^2＋２ｂ（１７ｍ＋２４ｎ）＋ｂ^2

左辺－右辺＝－ｍ^2＋２ｎ^2＋（４８ａ＋２４－３４ｂ）ｍ＋（６８ａ＋３４－４８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ＋１－ｂ^2

＝（４８ａ＋２４－３４ｂ）ｍ＋（６８ａ＋３２－４８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ－ｂ^2

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４８ａ－３４ｂ＝－２４

６８ａ－４８ｂ＝－３２

１６３２ａ－１１５６ｂ＝－８１６

１６３２ａ－１１５２ｂ＝－７６８

－４ｂ＝－４８，ｂ＝１２，ａ＝８

２ａ^2＋２ａ－ｂ^2＝１２８＋１６－１４４＝０

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［まとめ］ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１のとき，

　（１２ｍ＋１７ｎ＋８）^2＋（１２ｍ＋１７ｎ＋９）^2＝（１７ｍ＋２４ｎ＋１２）^2

が成立する．これらの恒等式はひとつ置きにうまくいくようである．

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