正多面体の二面角をδとする．

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，ｓｉｎδ4＝√８／３

　　立方体　→　ｃｏｓδ6＝０，ｓｉｎδ6＝１

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝－１／３，ｓｉｎδ8＝√８／３

　　正十二面体　→　ｃｏｓδ12＝－√５／５，ｓｉｎδ12＝√２０／５

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝－√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３

　今回のコラムではθを正多面体の二面角をして，θ／πは無理数であることを示す．

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【１】正四面体の場合

［Ｑ］角δがｔａｎδ＝２√２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．

［Ａ］もしδがπの有理数倍ならば，あるｎに対しｎδがπの整数倍となって，ｔａｎｎδ＝０または∞となる．そこで，すべての整数ｎに対し，ｔａｎｎδ≠０，∞であることを示す．

　加法公式

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ｔａｎδ＋ｔａｎｎδ）／（１－ｔａｎδｔａｎｎδ）

より，

　　ｔａｎδ＝２√２

　　ｔａｎ２δ＝－４√２／７

　　ｔａｎ３δ＝１０√２／２３

　　ｔａｎ４δ＝－５６√２／１７

　　ｔａｎｎδ＝ａ√２／ｂ

ならば

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ＋２ｂ）√２／（ｂ－４ａ）

帰納的にｔａｎｎδはすべてのｎに対して√２の有理数倍（＝ａ√２／ｂ）であることがわかる．

　この分数の（ａ，ｂ）＝（２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ＋２ｂ，ｂ－４ａ）を（ｍｏｄ　３）でみると

　　（２，１）

　　（４，－７）＝（１，２）

　　（－１０，－２３）＝（２，１）

　　（－５６，１７）＝（１，２）

の２ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．

　ところで，この証明には（ｍｏｄ　３）が現れた．あまりにも唐突すぎて，この意味をわかるひとはたとえいたとしても少ないと思われる．

　　Ｚ4＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３

　　ｚ－１／３＝ｉ√８／３

より，Ｚ4は２次方程式３ｚ^2－２ｚ＋３＝０の解であるからというのがその理由である．

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