［Ａ］（１－√２）^n＝ａn－ｂn√２＝√ａn^2－√２ｂn^2

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１－√２）^n｝

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n－（１－√２）^n｝

　ｍは交互にａn^2，２ｂn^2の値をとることになる．

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　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１－√２）＝－１

　　（１＋√２）^2（１－√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１－√２）^3＝－１

　　（１＋√２）^4（１－√２）^4＝１

より，ｘ^2－２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2－２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2－２ｙ^2＝－１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n＝（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

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　　ｙ^2－８ｘ^2＝ｙ^2－２（２ｘ）^2＝１＝ｐ^2－２ｑ^2

　　α＝３＋２√２，β＝３－２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n－β^n）

　　ｐ＝１／２（α^n＋β^n）

と

１／３２｛（１７＋１２√２）^n＋（１７－１２√２）^n－２｝

>に食い違いがあるように見えるが，ｘ^2－２ｙ^2＝１において，

（３＋２√２）^n

ｎ＝１：（３，２）

ｎ＝２：（１７，１２）

ｎ＝３：（９９，７０）

ｎ＝４：（５７７，４０８）

ｎ＝５：（３３６３，２３７８）

となっているというわけである．

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