ｘ＝（ｘ1，・・・，ｘn），ｙ＝（ｙ1，・・・，ｙn）

　　ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｙ1＋・・・＋ｙn

　　ｘ1＋・・・＋ｘk≧ｙ1＋・・・＋ｙk，（ｋ＝１〜ｎ−１）

が成り立つとき，ｘ≧ｙと書くことにする．

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【１】分割とムーアヘッドの定理

　非負整数の非増加列，すなわち，

　　λ＝（λ1，λ2，・・・，λn）

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn＞０

なる整数列を分割（partition）という．

　ここでは

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn≧０，ｎ＝３

の場合を扱うことになるので注意してほしい．（≧−１とすることができれば調和平均も扱えるのだが，・・・）

　分割はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）でパラメトライズされるわけであるが，分割λに対して

　　｜λ｜＝Σλi

を分割λのサイズ，λiが零でないｉの総数をｌ（λ）と書いて分割λの長さという．

　変数の数が３の場合，サイズ１の分割の集合は

　　Ｓ1＝｛（１，０，０）｝

サイズ２の分割の集合は

　　Ｓ2＝｛（２，０，０），（１，１，０）｝

サイズ３の分割の集合は

　　Ｓ3＝｛（３，０，０），（２，１，０），（１，１，１）｝

である．

　分割の集合を求めるのは難しいことではなく，たとえば，変数の数が３の場合，サイズ６の分割の集合は

　　Ｓ6＝｛（６，０，０），（５，１，０），（４，２，０），（４，１，１），（３，３，０），（３，２，１），（２，２，２）｝

サイズ７の分割の集合は

　　Ｓ7＝｛（７，０，０），（６，１，０），（５，２，０），（５，１，１），（４，３，０），（４，２，１），（３，３，１），（３，２，２）｝

サイズ８の分割の集合は

　　Ｓ8＝｛（８，０，０），（７，１，０），（６，２，０），（６，１，１），（５，３，０），（５，２，１），（４，４，０），（４，３，１），（４，２，２），（３，３，２）｝

となる．

　次に，分割の集合に自然な順序を定義したい．λ≧μとは

　　｜λ｜＝｜μ｜

かつすべてのｉに対して

　　λ1＋・・・＋λi≧μ1＋・・・＋μi

が成り立つこととする（ｉ＝１〜ｎ）．

　すると

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)>(1^4)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)>(21^3)>(1^5)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(31^3)>(2^21^2)>(21^4)>(1^6)

　　 >(3^2)> >(2^3)>

となって｜λ｜≦５の場合には全順序（辞書式順序）であるが，｜λ｜≧６の場合は半順序となることが理解される．（λ1≧λ2≧･･･≧λn≧0として，（λ1，λ2，･･･，λn）のことを（λ1λ2･･･λn），(1111)のことを(1^4)と表している．）

　３変数の場合に限ると，

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(2^3)

　　 >(3^2)>

となって，指標（４，１，１）と（３，３，０）の間には大小関係がないということになる．

　３変数６次多項式

　　ａ^4ｂｃ＋ａｂｃ^4＋ａｂ^4ｃ

と

　　ａ^3ｂ^3＋ａ^3ｃ^3＋ｂ^3ｃ^3

については大小関係が成立しないものが存在するのである．

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【２】カラマタの不等式

　　ａ1≧ａ2≧・・・≧ａn，ｂ1≧ｂ2≧・・・≧ｂn

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn），ｂ＝（ｂ1，・・・，ｂn）

　　ａ1＋・・・＋ａn＝ｂ1＋・・・＋ｂn

　　ａ1＋・・・＋ａk≧ｂ1＋・・・＋ｂk，（ｋ＝１〜ｎ−１）

すなわち，ａ≧ｂと仮定すると

　　ｆ（ａ1）＋・・・＋ｆ（ａn）≧ｆ（ｂ1）＋・・・＋ｆ（ｂn）

が成り立つ．

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