３次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）（ｘ−ｃ）＝０

が与えられたとき，３変数基本対称式は

　　Ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ

　　Ｓ1,1＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　　Ｕ＝ａｂｃ＝Ｕ

で表される．

　このとき，３次斉次不等式：

［定理］２７Ｕ^2−１８Ｓ1Ｓ1.1Ｕ＋４Ｓ1^3Ｕ＋４Ｓ1,1^3−Ｓ1^2Ｓ1,1^2≦０

が成り立つ．等号はａ＝ｂまたはｂ＝ｃまたはｃ＝ａのときに限る．

［証明］左辺＝−（ａ−ｂ）^2（ｂ−ｃ）^2（ｃ−ａ）^2≦０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　これを書き直すと

［系］Ｔ2,1^2≧４Ｓ3,3＋４ＵＳ3＋１２Ｕ^2

［系］Ｔ4,2＋２ＵＴ2,1≧２Ｓ3,3＋２ＵＳ3＋６Ｕ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝