【１】複素数と行列

　ある複素数に虚数単位ｉをかけると

　　ｚｉ＝（ｘ＋ｙｉ）ｉ＝−ｙ＋ｘｉ

となり，この操作は９０°回転に対応することがわかります．そこで，回転行列にθ＝π／２を代入すると

　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［１，　０］

となります．

　複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると

　　Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ

　　　　　［０，１］

となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．

　このことを踏まえると，複素数に対応した行列を導入することができます．

　　Ｚ＝ｘＥ＋ｙＪ＝［ｘ，−ｙ］

　　　　　　　　　　［ｙ，　ｘ］

ここで，

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

　　Ｚ’＝ｘＥ−ｙＪ＝［　ｘ，ｙ］

　　　　　　　　　　　［−ｙ，ｘ］

　　Ｚ・Ｚ’＝［ｘ^2＋ｙ^2，０］＝（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅ

　　　　　　　［０，ｘ^2＋ｙ^2］

ですから，（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅという行列が（虚数単位ｉを陽に用いることなしに）行列Ｚと行列Ｚ’の積に分解できたことになります．

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【２】パウリ行列

　前節で述べたことにより，行列を使うと因数分解ができるようになる可能性が開けてきます．円に相当するｘ^2＋ｙ^2ができたわけですから，球に相当するｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2も分解してみたい・・・．そして実際に，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

の因数分解を可能にするのが「パウリ行列」です．

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ，σy^2＝Ｅ，σz^2＝Ｅ

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

　ここで，行列

　　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz＝［　　　ｚ，ｘ−ｙｉ］

　　　　　　　　　　　　 ［ｘ＋ｙｉ，　　−ｚ］

を考え，この行列を２乗してみます．すると，

　　（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2，０］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2］

　　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ

　結局，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅという行列は，（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2に分解できたことになります．４元数を使わないとできなかった因数分解が，行列を利用すると分解できるトリックは，行列の成分として虚数単位を含んでいるうえに，行列自体にも虚数の働きがあり，普通の数にはない機能を２重に使っているからと考えられます．

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【３】ディラック行列

　パウリの行列において

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

は３次元空間での球に相当するわけですが，歴史的にはパウリが基本粒子のスピンを数学的に表現するために考案したものです．この考えがヒントになって，ディラックが４次元時空における時間の項を加えた

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2

を因数分解するために「ディラック行列」を使いました．

　　αx＝［０，０，０，１］　　αy＝［０，　０，０，−ｉ］

　　　 　［０，０，１，０］　　　 　［０，　０，ｉ，　０］

　　　 　［０，１，０，０］　　　 　［０，−ｉ，０，　０］

　　　 　［１，０，０，０］　　　 　［ｉ，　０，０，　０］

　　αz＝［０，　０，１，　０］　　β＝［１，０，　０，　０］

　　　 　［０，　０，０，−１］　　　　［０，１，　０，　０］

　　　 　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，−１，　０］

　　　 　［０，−１，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，前項と同様に，

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ

　＝［　ｔ，　　０，　　ｚ，　ｘ−ｙｉ］

　　［　０，　　ｔ，　ｘ＋ｙｉ，−ｚ　］

　　［　ｚ，　ｘ−ｙｉ，−ｔ，　０　　］

　　［ｘ＋ｙｉ，−ｚ　，０，　　−ｔ　］

　　（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2

　＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０，０］

　　［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０］

　　［０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０］

　　［０，０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2］

　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅ

という関係が確かめられます．これで，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅという行列は，（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2に分解できることがわかりました．

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　ちなみに，ディラック行列をパウリ行列で表現すると，

　　αx＝［０，σx］　　αy＝［０，σy］　　αz＝［０，σz］

　　　 　［σx，０］　　　 　［σy，０］　　　 　［σz，０］

　　β＝［Ｅ，　０］

　　　　［０，−Ｅ］

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ＝［ｔＥ，　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［ｘσx＋ｙσy＋ｚσz，−ｔＥ］

と表すことができます．

　このことから

　　αx^2＝Ｅ，αy^2＝Ｅ，αz^2＝Ｅ，β^2＝Ｅ

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxαy−αyαx＝２ｉ［σz，０］

　　　　　　　　　　　　［０，σz］

　　αxβ＋βαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxβ−βαx＝２［０，−σx］

　　　　　　　　　　［σx，　０］

と計算されます．ディラック行列がパウリ行列に一工夫加えた様子を窺い知ることができるでしょう．

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