【１】リー群とリー代数（復習）

　転置と複素共役を組み合わせた作用を(~)で表すことにすると，実数変数行列と複素変数行列の対応は以下のようになります．

　　　実数　　　　　　　　　　　　 複素数

　　対称行列（Ａ’＝Ａ ）　　→　エルミート行列（Ａ~＝Ａ）

　　直交行列（Ａ’＝Ａ^(-1)）→　ユニタリー行列（Ａ~＝Ａ^(-1)）

　　反対称行列（Ａ’＝−Ａ ）→　反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）

　ｎ次実変数一般線形群ＧＬ（ｎ，Ｒ）は行列の乗法のもとで群をなすわけですが，その行列交換子で定義されるリー代数も同じ行列の集合となり，ｎ×ｎ行列なのでそのベクトル次元はｎ^2です．また，ｎ×ｎ複素行列ＧＬ（ｎ，Ｃ）において，複素数は２つの実数で定義されるので，そのリー代数は２ｎ^2次元をもつことになります．

　ｎ次元直交群Ｏ（ｎ）はＡ^(-1)＝Ａ’を満たす行列の集合をなし，その行列式は±１となります．Ｏ（ｎ）のリー代数は反対称行列からなるので，次元はｎ（ｎ−１）／２であることが示されます．

　Ｏ（ｎ）において行列式が＋１であるものは特殊直交群ＳＯ（ｎ）なのですが，とくに，Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１を満たす３×３正方行列Ａは特殊直交群ＳＯ（３）をなします．これは３次元空間の回転を表す群となります．なお，球面上の運動の有限群については５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限られることはよく知られています．→［補］

　ユニタリー群Ｕ（ｎ）は，複素共役をとって転置することを意味する（エルミート共役）~を用いて，Ａ^(-1)＝Ａ~を満たす行列の集合です．Ｕ（ｎ）のリー代数はｎ×ｎ反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）ですから，ｎ（ｎ−１）／２個の複素数の非対角要素とｎ個の純虚数の対角要素からなるため，全体でｎ^2実次元をもちます．

　ｎ次元特殊ユニタリー群ＳＵ（ｎ）は，Ｕ（ｎ）の行列で行列式が１のものです．ＳＵ（ｎ）のリー代数はトレースが０の反エルミート行列からなるのですが，トレースが０という条件は自由度を１だけ減らすため，ＳＵ（ｎ）のリー代数の次元はｎ^2−１となります．

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