【４】４元数と行列

　積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］　　　Ｊ^2＝−Ｅ

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおけば，

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ2，　ａ1］

は

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ

と表されます．

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ

の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．

　　Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ

　　ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ

乗法の可換性は成立しません．すなわち，【１】節では行列による表現を利用して複素数を導入したわけですが，類似の方法で４元数を行列の中に実現させる方法もあります．

　　Ｅ＝［１，０，０，０］

　　　　［０，１，０，０］

　　　　［０，０，１，０］

　　　　［０，０，０，１］

　　ｉ＝［０，−１，０，　０］　　ｊ＝［０，　０，−１，０］

　　　　［１，　０，０，　０］　　　　［０，　０，　０，１］

　　　　［０，　０，０，−１］　　　　［１，　０，　０，０］

　　　　［０，　０，１，　０］　　　　［０，−１，　０，０］

　　ｋ＝［０，０，　０，−１］　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［０，０，−１，　０］　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［０，１，　０，　０］　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［１，０，　０，　０］　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

とおけば

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2ｉ＋ａ3ｊ＋ａ4ｋ

と書くことができます．

　この体系では，４元数同様，

　　ｉ^2＝−Ｅ，ｊ^2＝−Ｅ，ｋ^2＝−Ｅ，

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもっていて，加法および乗法に関して閉じています．また，乗法の可換性は成立しません．

　この体系を用いると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）Ｅ＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

のように，虚数単位ｉを陽に用いることなしに２つの行列の積に分解できますが，それでは４元数そのままであって，虚数単位ｉを使ったパウリ行列やディラック行列よりも面白味に欠けるかもしれません．

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