【２】パウリ行列

　前節で述べたことにより，行列を使うと因数分解ができるようになる可能性が開けてきます．円に相当するｘ^2＋ｙ^2ができたわけですから，球に相当するｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2も分解してみたい・・・．そして実際に，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

の因数分解を可能にするのが「パウリ行列」です．

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ，σy^2＝Ｅ，σz^2＝Ｅ

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

　ここで，行列

　　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz＝［　　　ｚ，ｘ−ｙｉ］

　　　　　　　　　　　　 ［ｘ＋ｙｉ，　　−ｚ］

を考え，この行列を２乗してみます．すると，

　　（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2，０］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2］

　　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ

　結局，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅという行列は，（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2に分解できたことになります．４元数を使わないとできなかった因数分解が，行列を利用すると分解できるトリックは，行列の成分として虚数単位を含んでいるうえに，行列自体にも虚数の働きがあり，普通の数にはない機能を２重に使っているからと考えられます．

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