【１】複素数と行列

　平面の回転行列は

　　［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

の形に書けました．

　ある複素数に虚数単位ｉをかけると

　　ｚｉ＝（ｘ＋ｙｉ）ｉ＝−ｙ＋ｘｉ

となり，この操作は９０°回転に対応することがわかります．そこで，回転行列にθ＝π／２を代入すると

　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［１，　０］

となります．

　複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると

　　Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ

　　　　　［０，１］

となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．

　このことを踏まえると，複素数に対応した行列を導入することができます．

　　Ｚ＝ｘＥ＋ｙＪ＝［ｘ，−ｙ］

　　　　　　　　　　［ｙ，　ｘ］

ここで，

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

　　Ｚ’＝ｘＥ−ｙＪ＝［　ｘ，ｙ］

　　　　　　　　　　　［−ｙ，ｘ］

　　Ｚ・Ｚ’＝［ｘ^2＋ｙ^2，０］＝（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅ

　　　　　　　［０，ｘ^2＋ｙ^2］

ですから，（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅという行列が（虚数単位ｉを陽に用いることなしに）行列Ｚと行列Ｚ’の積に分解できたことになります．

　また，オイラーの公式

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を行列で表現すると

　　ｅｘｐ（Ｊθ）＝（ｃｏｓθ）Ｅ＋（ｓｉｎθ）Ｊ

　　　　　　　　　＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　　　　　　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

となって，確かに回転行列になっていることがわかります．

［問］２次の正方行列でＸ^2＝−Ｅを満たすものは，複素数の範囲では

　　［ｉ，０］

　　［０，ｉ］

などがある．しかし，実数の範囲でも解は無数にある．その解をすべて求めよ．

［補］Ｅ，Ｊはそれぞれ対称行列（Ｂ’＝Ｂ），交代行列（Ｂ’＝−Ｂ）になっています．任意のｎ次正方行列Ａに対して，

　　Ｂ＝（Ａ＋Ａ’）／２，Ｃ＝（Ａ−Ａ’）／２

とおけば，Ｂは対称行列，Ｃは交代行列であって，

　　Ａ＝Ｂ＋Ｃ

のような分解は一意で与えられます．

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