Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおく。

　複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると

　　Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ

　　　　　［０，１］

となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．

Ｅ，Ｊはそれぞれ対称行列（Ｂ’＝Ｂ），交代行列（Ｂ’＝−Ｂ）になっています．任意のｎ次正方行列Ａに対して，

　　Ｂ＝（Ａ＋Ａ’）／２，Ｃ＝（Ａ−Ａ’）／２

とおけば，Ｂは対称行列，Ｃは交代行列であって，

　　Ａ＝Ｂ＋Ｃ

のような分解は一意で与えられます．

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　積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］　　　Ｊ^2＝−Ｅ

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおけば，

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ2，　ａ1］

は

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ

と表されます．

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ

の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．

　　Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ

　　ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ

乗法の可換性は成立しません．

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ここでは２次の反対称行列しか扱いませんでしたが、3次・４次・5次・・・にも面白い性質があるようです。

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