ａを底とするフェルマー・テスト，すなわち，ｇｃｄ（ａ，ｎ）＝１となるある自然数ａに対して，

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

がすべてのａに対して成り立つとき，ｎをカーマイケル数という．

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【２】カーマイケル数

　　２^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

を満たす合成数は３４１，５６１，６４５，・・・などあるが，５６１＝３・１１・１７については

　　３^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　４^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　５^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　７^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　８^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　10^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　560^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

など３，１１，１７と互いに素なすべての底ａについて，

　　ａ^560＝１　　（ｍｏｄ５６１）

が成り立つ．

　このような合成数をカーマイケル数という．５６１は最小のカーマイケル数である．このほかにも

　　１１０５＝５・１３・１７

　　２４６５＝５・１７・２９

　　２８２１＝７・１３・３１

　　１５８４１＝７・３１・７３

　　１６０４６６４１＝１３・３７・７３・４５７

などもカーマイケル数である．

　１９９４年，アルフォード，グランヴィル，ポメランスによって，カーマイケル数は無限個存在することが証明されている．

［参］河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

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