フェルマーの小定理より，ｐをａと素な素数とすると，フェルマー商

　　（ａ^(p-1)−１）／ｐ

は整数になる．すなわち，ｐは常にａ^(p-1)−１を割り切る．

　　ａ^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　（ａ^(p-1)−１）／ｐ^2

は整数になるだろうか．

　　１８^36−１＝０　　（ｍｏｄ　３７^2）

　　１０^486−１＝０　　（ｍｏｄ　４８７^2）

現在では多くの例が知られている．

　ａ＝２の場合をとくにヴィーフェリッヒ素数と呼ぶ．

［Ｑ］ｐ^2が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐはあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

［Ａ］ヴィーフェリッヒ素数は現在でも２例のみしか知られていない．

　　２^1092−１は１０９３^2で割り切れる．

　　２^3510−１は３５１１^2で割り切れる．

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　なお，１９１０年，ミリマノフは

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．

　　（３^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．

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［注］フェルマーの小定理の逆は成り立たない．フェルマー商

　　（２^(p-1)−１）／ｐ

が整数になる（２^(p-1)−１がｐで割り切れる）のに，ｐが素数でない場合，ｐを擬素数という．

　２^340−１は３４１で割り切れるのみ，３４１＝１１・１３は合成数であり，素数ではない．３４１は２を底とする最小の擬素数である．

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