ブロカールの問題「ｎ！＋１＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，エルデシュ自身は３組の解，４！＋１＝５^2，５！＋１＝１１^2，７！＋１＝７１^2しかないと予想した．現在のところ有限個の解しかないのかどうかもわかっていない．

　　ｎ！＋１＝ｘ^2　　（ｍｏｄ４）

を考えれば，

　　ｎ＞３のとき，１＝ｘ^2

　　ｎ＝３のとき，７＝ｘ^2

　　ｎ＝２のとき，３＝ｘ^2

　　ｎ＝１のとき，２＝ｘ^2

　　ｎ＝０のとき，２＝ｘ^2

これはｎ＞３であることを意味するが，この問題でも有限個の可能性以外のすべての場合を除去することはできないのである．

［補］ウィルソンの定理：（ｎ−１）！＋１はｎが素数のときに限り，ｎの倍数である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

それでは、「ｎ！＝ｘ^2の整数解を求めよ」はどうだろうか？

　連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数である

　連続する４個の自然数の積は４！＝２４の倍数である

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！の倍数である

に対して，エルデシュ・セルフリッジの定理とは

　連続する３個の自然数の積は平方数とはならない

　連続する４個の自然数の積は平方数，立方数とはならない

　連続するｋ（＞１）個の自然数の積はある数のベキ乗数とはならない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］連続する３個の自然数の積（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数とはならないことを示せ．

［Ａ］ａ≧２．（ａ−１）とａ，ａと（ａ＋１）は互いに素であるから，（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数ならばａ自身が平方数でなければならない．すると（ａ−１）（ａ＋１）＝ａ^2−１も平方数であるから，ａ^2−１＝ｂ^2と書ける．

　このとき，ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝１より（ａ，ｂ）＝（±１，０）となり，ａ≧２であることに反する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝