古典的な微分幾何学と多様体の微分幾何学の相違を述べてみたい．

　ジェットコースターを考察してみよう．ジェットコースターを外から見て，三次元空間内の曲線と見なすのが古典的な微分幾何学である．一方，ジェットコースターに乗ってこの曲線を解析するのが，多様体論である．その際，ジェットコースターに乗ったときの，重力や恐怖の数式化が曲率などのテンソルとなる．

　「接続」云々は，地図のことを考えてみるとよい．地球は球面であるが，地図は平面で表現される．五万分の１の地図と，同じ区域の二万五千分の１四枚を考察する．それぞれは曲面を平面に変換した地図であり，共有する領域には，ある種の変換式がなければならない．この変換式が成り立つことが多様体の条件である．

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【１】リーマン計量とは？

　リーマンはゲッチンゲン大学におけるガウスの後任教授ですが，多様体の概念はリーマンに始まります．多様体では，空間が伸びたり縮んだり曲がったりしているわけですから，その際，空間の各点において長さを測るためのモノサシが必要になります．

　どうやって長さを測るかを決めるモノサシが「リーマン計量」なのですが，ピタゴラスの定理を拡張するだけなので，おそるるに足りません．リーマン計量は，誰でも知っているピタゴラスの定理

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2

のなかに隠されています．ここで，斜辺ｄｓのことを線素と呼びますが，これは測地線（最短曲線）を与える素という意味です．

　この式をもっと詳しく書くと

　　（ｄｓ）^2＝１（ｄｘ）^2＋０ｄｘｄｙ＋０ｄｙｄｘ＋１（ｄｙ）^2

となりますが，これを一般化した

　　（ｄｓ）^2＝ｇ11（ｄｘ）^2＋ｇ12ｄｘｄｙ＋ｇ21ｄｙｄｘ＋ｇ22（ｄｙ）^2

が多様体におけるピタゴラスの定理の本来の姿なのです．

　　ｇ21＝ｇ12

なので，対称行列Ｇを

　　Ｇ＝［ｇ11，ｇ12］

　　　　［ｇ12，ｇ22］

とおくと，２次元多様体におけるピタゴラスの定理は行列表現

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ，ｄｙ）Ｇ（ｄｘ，ｄｙ）’

のように２次形式で表されます．

　２次元ユークリッド空間，すなわち，平面の座標が碁盤の目になっている場合の計量がユークリッド・リーマン計量で，

　　Ｇ＝［１，０］

　　　　［０，１］

したがって，

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2

というわけです．

　一般の３次元では，

　　Ｇ＝［ｇ11，ｇ12，ｇ13］

　　　　［ｇ12，ｇ22，ｇ23］

　　　　［ｇ13，ｇ23，ｇ33］

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）Ｇ（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）’

　４次元，５次元，１０次元（フェルミオンの世界），２６次元（ボゾンの世界），・・・，ｄ次元でも同様に表現されます．なお，対称行列（ｇij＝ｇji）なので，リーマン計量の独立成分はｄ^2個ではなく，ｄ（ｄ＋１）／２個です．

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