微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　０＜ｘ＜π／２のとき，不等式

　　０＜ｓｉｎｘ＜ｘ＜ｔａｎｘ

が成り立つが，これはｘ→０としたとき，ｓｉｎｘ／ｘ→１の証明に用いられる有名な不等式である．

　この不等式の辺々を２乗して逆数をとると

　　ｃｏｔ^2ｘ＜１／ｘ^2＜１＋ｃｏｔ^2ｘ

を得る．ｘ＝ｋπ／（２ｎ＋１）を代入して，Ｒ＝ｘ^2／ｋ^2をかけると

　　Ｒｃｏｔ^2ｋπ／（２ｎ＋１）＜１／ｋ^2＜Ｒ（１＋ｃｏｔ^2ｋπ／（２ｎ＋１））

　　ＲΣｃｏｔ^2ｋπ／（２ｎ＋１）＜Σ１／ｋ^2＜ＲΣ（１＋ｃｏｔ^2ｋπ／（２ｎ＋１））

　ｋ＝１〜ｎの和をとると

　　Σｃｏｔ^2ｋπ／（２ｎ＋１）＝ｎ（２ｎ−１）／３

より，

　　ｎ（２ｎ−１）π^2／３（２ｎ＋１）^2＜Σ１／ｋ^2＜ｎ（２ｎ＋１）π^2／３

より，

　　Σ１／ｋ^2＝π^2／６

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　同様に

　　ｃｏｔ^4ｘ＜１／ｘ^4＜（１＋ｃｏｔ^2ｘ）^2

　　Σｃｏｔ^4ｋπ／（２ｎ＋１）＝ｎ（２ｎ−１）（４ｎ^2＋１０ｎ−９）／４５

より

　　Σ１／ｋ^4＝π^4／９０

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　アペリは中央二項係数を用いたζ（３）の表示式

　　ζ（３）＝５／２Σ（−１）^n+1／ｎ^3（２ｎ，ｎ）

を用いて，ζ（３）の無理性を示した．

　すでに無理数とわかっているζ（２），ζ（３），ζ（４）と同様

　　ζ（５）＝Σ１／ｋ^5

も無理数と思われているが，まだ証明されていない．

　ロシア人数学者ズディリンは，ζ（５），ζ（７），ζ（９），ζ（１１）の４実数のうち，少なくともひとつは無理数であることを証明した．

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