【２】ゼータ関数と周期

　ところで，ｓ≧２のすべての整数でのζ（ｓ）値は周期になることがわかっています．たとえば，積分

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

において，１／（１−ｘｙ）を幾何級数として展開し，項別積分すると

　　Ｉ＝Σ１／（ｎ＋１／２）^2

　このとき，

　　１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

　＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

となるのです．したがって，

　　∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ＝（４−１）ζ（2）

　さらにζ（3）は，ｃ：０＜ｘ＜ｙ＜ｚ＜１として

　　ζ（3）＝∫(c)ｄｘｄｙｄｚ／（１−ｘ）ｙｚ

このように，多くの式の無限和も周期となります．

　このように，ｓ≧２のすべての整数でのζ（ｓ）値は周期になることがわかっていますが，１９７９年，ボイカーズは周期積分の原理を用いた証明を見つけました．ボイカーズはアペリの論じている考えを土台にして，

　　｜ａnζ（3）−ｂn｜＜α^(-n)

を導き出したのです．

　さらに一歩進んで，数列｛ａn｝と｛ｂn｝に，重さ２となる保型形式的解釈を与えることによる証明もあるようです．エレガントな証明ですが，解説するには荷が重い・・・生兵法はけがのもと．

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