［１］√（１−√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））））＝１／２

［２］3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２

もラマヌジャンの式である．

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［１］

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

ならば

　　√（１＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−１＝０

として２次方程式の解より求めることができる．

　しかし，この方法は使えなさそうなので，答えから逆にたどってみたい．

１−√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・）））＝１／４

√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・）））＝３／４＝１−１／２^2

１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））＝９／１６

√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））＝７／８＝１−１／２^3

１−１／４√（１−１／８√１−・・・）＝４９／６４

√（１−１／８√１−・・・）＝１５／１６＝１−１／２^4

１−１／８√１−・・・＝２２５／２５６

√１−・・・＝３１／３２＝１−１／２^5

｛１−１／２^n-1（√１−・・・）｝^1/2＝１−１／２^n

が証明できればよいことになる．

［証］ｎ→∞のとき

（√１−・・・）→１

｛１−１／２^n-1（√１−・・・）｝^1/2→１−１／２^n

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［２］

（ａ＋２）^3＝ａ＋２＋（ａ＋１）（ａ＋２）（ａ＋３）より，根号の中の式を書き換えて

　　ａ（ａ＋２）＝ａ3√（ａ＋２）^3＝ａ3√（ａ＋２＋（ａ＋１）（ａ＋２）（ａ＋３））

（ａ＋３）^3＝ａ＋３＋（ａ＋２）（ａ＋３）（ａ＋４）より

　　ａ（ａ＋２）＝ａ3√（ａ＋２＋（ａ＋１）（ａ＋２）3√（ａ＋３＋（ａ＋２）（ａ＋３）（ａ＋４））

　しかし，これを繰り返しても，ａ＋２→ａ＋３→・・・となってしまう．この方法は使えなさそうなので，答えから逆にたどってみたい．

　3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２

　−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・）））＝−８

　3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・）））＝−２

となって，正しいことが確認される．

　一般に

　3√（−ａ＋3√（−ａ＋3√（−ａ＋3√（−ａ＋・・・））））＝−ｂ

　−ａ＋3√（−ａ＋3√（−ａ＋3√（−ａ＋・・・）））＝−ｂ^3

　3√（−ａ＋3√（−ａ＋3√（−ａ＋・・・）））＝−ｂ^3＋ａ

−ｂ＝−ｂ^3＋ａ→ａ＝ｂ^3−ｂであればよいことになる．

　ｂ＝１とおくとａ＝０であるから，ｂ＝２とおくと

　3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２

ｂ＝３とおくと

　3√（−２４＋3√（−２４＋3√（−２４＋3√（−２４＋・・・））））＝−３

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