Σ１／ｎ^2＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

が収束することは次のようにして示すことができます．

（証明）ｎ次部分和をＰnとすると，

Ｐn＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ＝２−１／ｎ

＜２

より，単調増加数列｛Ｐn｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

　なお，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は，優雅な公式Σ１／ｎ^2＝π^2／６に表面的にはよく類似していますが，

　Σ１／ｎ（ｎ＋１）

＝Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝（１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・

＝１

となり，両者の間には大きな格調の差があるという有名な例になっています．

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　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））

の収束値を具体的に求めることはできませんが，収束することは以下のようにして証明できます．

［証］

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・＋√１））））　　　（１がｎ個）

　　ｂn＝√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・＋√ｎ））））

とおく．

　数列｛ａn｝はφに収束する．

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

数列｛ｂn｝は単調増加．

　また，

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・＋√１））））　　　（１が

の両辺の√２をかけると

　　√２ａn＝√（２＋√（４＋√（１６＋・・＋√２^(2^n-1)））））

　　ｋ＜２^2^(k-1)

より，ｂn＜√２ａn

　単調増加数列｛ｂn｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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