ｋ＝√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋・・・））））

の場合は，２次方程式の解の公式を使えば，ｍ＝ｋ^2−ｋとすることができる．

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

　　√（３０＋√（３０＋√（３０＋√（３０＋・・・））））＝６

　今回のコラムでは

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

の別証を与えてみたい．

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【１】別証

　倍角の公式

　　ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ^2α−１

は

　　２ｃｏｓα＝√（２＋２ｃｏｓ２α）

と書き換えることができる．

　たとえば，α＝π／３２とおくと

　　２ｃｏｓπ／３２α＝√（２＋２ｃｏｓπ／１６）

　＝√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／８））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／４）））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））

　α＝π／２^nとして，ｎ→∞とすると，

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

が得られる．

　ヴィエタの無限積は

　　２／π＝√２／２・√（２＋√２）／２・√（２＋√（２＋√２））／２・√（２＋√（２＋√（２＋√２）））／２・・・

とも書くことができる．

［補］ウォリス積

　　４／π＝３^2／（３^2−１）・５^2／（５^2−１）・７^2／（７^2−１）・・・

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【２】ローメンの問題

（Ｑ）４５次多項式

　　Ｐ（ｘ）＝４５ｘ−３７９５ｘ^3＋９５６３４ｘ^5−１１３８５００ｘ^7＋７８１１３５７ｘ^9−３４５１２０７５ｘ^11＋１０５３０６０７５ｘ^13−２３２６７６２８０ｘ^15＋３８４９４２３７５ｘ^17−４８８４９４１２５^19＋４８３８４１８００ｘ^21−３７８６５８８００ｘ^23＋２３６０３０６５２ｘ^25−１１７６７９１００ｘ^27＋４６９５５７００ｘ^29−１４９４５０４０ｘ^31＋３７６４５６５ｘ^33−７４０２５９ｘ^35＋１１１１５０ｘ^37−１２３００ｘ^39＋９４８ｘ^41−４５ｘ^43＋ｘ^45

とする．このとき，

　　Ｐ（ｘ）＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））

の根を求めよ．

（Ａ）３倍角の公式

　　ｓｉｎ３α＝−４ｓｉｎ^3α＋３ｓｉｎα

と

　　ｓｉｎ^5α＝５／８・ｓｉｎ^5α−５／１６ｓｉｎ^3α＋１／１６・ｓｉｎα

の組み合わせを繰り返し使って，ｓｉｎ４５αの関数を導く．そしてｘ＝２ｓｉｎαと置き換えれば，Ｐ（ｘ）＝２ｓｉｎ４５αが得られる．

　　２ｓｉｎ４５α＝２ｓｉｎ１５π／３２

　＝２ｓｉｎ（π／２−π／３２）

　＝２ｃｏｓπ／３２α＝√（２＋２ｃｏｓπ／１６）

　＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））

を解くことで，

　　４５α＝１５π／３２＋２ｋπ

　　α＝π／９６＋２ｋπ／４５

　　ｘ＝２ｓｉｎα＝２ｓｉｎ（π／９６＋２ｋπ／４５）

　なお，より一般化した問題

　　Ｐn（ｘ）＝Σ（−１）^kｎ／（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ，ｋ）ｘ^n-2k

　　ｎ＝０〜［ｎ／２］

とすると

　　Ｐn（２ｓｉｎα）＝２ｓｉｎ（ｎα）

が得られる．ローメンの問題はｎ＝４５としたものである．

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