【１】２項分布

　２項分布は１回の実験で２通りの結果のいずれか１つのみが生ずるｎ回の試行における最も基本的なモデルです．離散分布の解説ではしばしばポリアの壷と呼ばれるモデル（urn model）が用いられますが，ここでは不良品の含まれたロットで代用することにします．不良率ｐの製品のロットから，ｎ個の製品を抽出して調べる場合について考えてみましょう．

　１回ずつもとに戻して調べる復元抽出では，取り出した１個の製品について不良品である確率がp，良品である確率がq=1-pですから，x個が不良品（n-x個が良品）になる確率は

　　p(x)=nCxp^x(1-p)^(n-x)　　　x=0,1,2,･･･,n

で表されます．

　この分布の形状はp=1/2のとき対称，p<1/2のとき正に，p>1/2のとき負にゆがみます．したがって，一般には平均値は最頻値とは異なります．しかし，p≠1/2でもｎが十分大きい場合には非対称性は減少し，２項分布は正規分布で近似できるほぼ対称的な形になることが知られています（２項分布のガウス近似）．

　　母平均＝np

　　母分散＝npq

より，母平均はつねに母分散より小さくなります．また，変動係数の平方をつくってみると

　　μ2/μ1^2=(1-p)/np

これより，変動係数そのものはｎの平方根に逆比例しますから，観測数を増加させれば誤差が小さくなることを示していて，このことは常識的にも了解できるでしょう．

［１］２項分布の再生性

　同じ確率ｐをもつ独立な２項確率変数の和の分布は２項分布になります．

　　xi〜B(ni,p)　　　Σxi〜B(Σni,p)

なお，差の分布は２項分布にはならず，ベッセル関数を用いて表される分布になります．

［２］２項分布の正規近似

　ｎが十分大きいとき２項分布は正規分布で近似できます（ド・モアブル=ラプラスの定理）．これは中心極限定理の特別な場合にあたり，エーレンフェストのふるいという簡単な実験装置を用いると視覚的にもそれを確認することができます．

　ｎが２０を超えると２項分布の計算は面倒になりますがが，ガウス分布なら計算は簡単ですから，ｎが大きいと２項分布がガウス分布で近似できるということは実用上きわめて有用です．２項分布は超幾何分布の代用としても応用されていますが，幾何分布，負の２項分布，ポアソン分布なども２項分布との関連が強い分布です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝